ОГЭ 2026. Вариант 2 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

$$\left( \frac{1}{6} - \frac{3}{4} \right) \cdot 18 =$$ $$\left( \frac{2}{12} - \frac{9}{12} \right) \cdot 18 =$$ $$-\frac{7}{12} \cdot 18 =$$ $$-\frac{7 \cdot 18}{12} = -\frac{126}{12} = -10,5$$

Расположим числа в порядке возрастания. Очевидно, что $$1,7 > 0,5 \Rightarrow -\sqrt{1,7} < -\sqrt{0,5}$$. При этом $$0,5 > 0,01 \Rightarrow -\sqrt{0,5} < \sqrt{0,01}$$.

То есть в порядке возрастания числа расположатся: $$-\sqrt{1,7}$$; $$-\sqrt{0,5}$$; $$-\sqrt{0,01}$$; $$\sqrt{0,6}$$.

Точка $$C$$ на прямой третья, то есть соответствует числу $$-\sqrt{0,01}$$. Значит, правильный ответ под номером $$4$$.

$$\sqrt{2^4 \cdot 81} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{81} = 2^2 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$$

$$x^2 - 36 = 4x - 4$$

$$x^2 - 4x - 32 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2}$$

$$x_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8$$, $$x_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4$$

Больший корень: $$8$$

$$n = 150$$ - общее количество аккумуляторов

$$m = 150 - 12 = 138$$ - количество заряженных аккумуляторов

$$P = \frac{m}{n} = \frac{138}{150} = 0,92$$ - вероятность выбрать заряженный аккумулятор

Анализ формул:

А) $$y = \frac{1}{5}x - 2$$ - возрастающая прямая ($$k = \frac{1}{5} > 0$$), пересекает ось $$Oy$$ в точке $$(0; -2)$$ ($$b = -2$$)

Б) $$y = -\frac{1}{5}x + 2$$ - убывающая прямая ($$k = -\frac{1}{5} < 0$$), пересекает ось $$Oy$$ в точке $$(0; 2)$$ ($$b = 2$$)

В) $$y = -\frac{1}{5}x - 2$$ - убывающая прямая ($$k = -\frac{1}{5} < 0$$), пересекает ось $$Oy$$ в точке $$(0; -2)$$ ($$b = -2$$)

Анализ графиков:

График 1: возрастающая прямая, пересекает ось y ниже нуля → соответствует формуле А

График 2: убывающая прямая, пересекает ось y ниже нуля → соответствует формуле В

График 3: убывающая прямая, пересекает ось y выше нуля → соответствует формуле Б

Подставим в формулу $$F = \rho g V$$ известные значения:

$$F = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,02$$

$$F = 1000 \cdot 0,196$$

$$F = 196$$

$$(x + 6)(x - 11) < 0$$

Пусть $$f(x)=(x + 6)(x - 11)$$

Пусть $$f(x)=0$$. Корни: $$x_1 = -6, \quad x_2 = 11$$

Метод интервалов:

Подставим в выражение $$f(x)$$ любое число $$x \in (-\infty; -6)$$. Например, $$x=-10$$. Тогда получим: $$(-10+6)(-10-11)=(-4)\cdot (-21) = 84 > 0$$ или $$\quad (-)(-) = (+) > 0$$

$$x \in (-6; 11): \quad (+)(-) = (-) < 0$$

$$x \in (11; +\infty): \quad (+)(+) = (+) > 0$$

Необходимо, чтобы $$f(x) < 0$$, то есть выбрать промежутки, где получили $$(-)$$.

Решение неравенства: $$x \in (-6; 11)$$, что соответствует $$3$$ варианту ответа.

Дано: $$a_1 = 36$$, $$d = -6$$

Автомобиль остановится, когда путь за секунду станет ≤ 0

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 36 + (n-1)(-6) = 42 - 6n$$

$$42 - 6n > 0 \Rightarrow n 7$$

Автомобиль проедет 6 секунд (последняя - 6 м)

Сумма арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

$$S_6 = \frac{2 \cdot 36 + 5 \cdot (-6)}{2} \cdot 6 = \frac{72 - 30}{2} \cdot 6 = \frac{42}{2} \cdot 6 = 21 \cdot 6 = 126$$

Формула площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} a \cdot h$$, где $$a$$ - длина стороны, а $$h$$ - длина высоты, проведенной к этой стороне. Тогда:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 22 = 165$$

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

$$\angle CAD = \angle CBD = 76^\circ$$

2) Угол $$ABC$$ состоит из двух углов:

$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$

$$124^\circ = \angle ABD + 76^\circ$$

$$\angle ABD = 124^\circ - 76^\circ = 48^\circ$$

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть $$BE = AE$$. Пусть $$\angle BAE = 28^\circ$$. Тогда и $$\angle ABE = 28^\circ$$. Следовательно, $$\angle BEA = 180^\circ - 2 \cdot 28^\circ = 124^\circ$$

Тогда $$\angle AED = 180^\circ - \angle BEA = 56^\circ$$ (если просят найти угол между прямыми, то оказывается в ответ угол $$\leq 90^\circ$$, если не сказано иное)

Формула площади ромба: $$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба.

По клеткам определяем длины диагоналей $$d_1 = 4; d_2 = 8$$ и подставляем в формулу: $$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$$

1. Верно - по определению трапеции основания параллельны
2. Неверно - неравенство треугольника: $$1 + 2 = 3 4$$
3. Неверно - касательная перпендикулярна радиусу в точке касания

1) ОДЗ: $$4 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 4.$$

2) Сократим одинаковые корни: $$2x^2 - 3x = 27,$$ $$2x^2 - 3x - 27 = 0.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 2\cdot(-27) = 9 + 216 = 225,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{225}}{4} = \dfrac{3 \pm 15}{4}.$$ Получаем $$x_1 = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2},\quad x_2 = \dfrac{-12}{4} = -3.$$ С учётом $$x \le 4$$ подходит только $$x = -3.$$

Пусть $$x > 0$$ - скорость из $$A$$ в $$B$$ (км/ч)

Тогда скорость обратно: $$x + 10$$ (км/ч)

Время из $$A$$ в $$B$$: $$t_1 = \frac{210}{x}$$

Время обратно: $$t_2 = \frac{210}{x + 10}$$

Разница во времени: $$42$$ мин = $$\frac{42}{60} = 0,7$$ ч

$$\frac{210}{x} - \frac{210}{x + 10} = 0,7$$

$$210(x + 10) - 210x = 0,7x(x + 10)$$

$$2100 = 0,7x^2 + 7x$$

$$0,7x^2 + 7x - 2100 = 0$$

Поделим на $$0,7$$: $$x^2 + 10x - 3000 = 0$$

$$D = 100 + 12000 = 12100$$

$$\sqrt{D} = 110$$

$$x_1 = \frac{-10 + 110}{2} = 50$$ - км/ч скорость из $$A$$ в $$B$$

$$x_2 = \frac{-10 - 110}{2} = -50 < 0$$

Рассмотрим два случая для модуля:

Случай 1: $$x \geq 1$$, тогда $$|x - 1| = x - 1$$

$$y = x^2 + x - 5(x - 1) - 2 = x^2 + x - 5x + 5 - 2 = x^2 - 4x + 3$$

Случай 2: $$x < 1$$, тогда $$|x - 1| = 1 - x$$

$$y = x^2 + x - 5(1 - x) - 2 = x^2 + x - 5 + 5x - 2 = x^2 + 6x - 7$$

В точке $$x = 1$$:

Слева: $$y = 1 + 6 - 7 = 0$$

Справа: $$y = 1 - 4 + 3 = 0$$

Функция непрерывна

Вершины парабол:

Для $$x \geq 1$$: $$x_0 = 2$$, $$y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Для $$x < 1$$: $$x_0 = -3$$, $$y_0 = 9 - 18 - 7 = -16$$

Прямая $$y = m$$ имеет 3 общие точки с графиком при:

$$m = 0$$ - точки: $$x = -7$$, $$x = 1$$, $$x = 3$$

$$m = -1$$ - точки: $$x = 2$$ (касание) и две другие

Проведём из центра окружности $$O$$ перпендикуляры к хордам:

$$OH \perp AB$$, $$OK \perp CD$$

Тогда $$H$$ и $$K$$ - середины хорд

Для хорды $$CD$$:

$$CK = KD = \frac{CD}{2} = 9$$

$$OK = 13$$ (по условию)

Из треугольника $$OCK$$: $$OC^2 = OK^2 + CK^2 = 13^2 + 9^2 = 169 + 81 = 250$$

Для хорды $$AB$$:

$$AH = HB = \frac{AB}{2} = 5$$

$$OA = OC = R = \sqrt{250}$$

Из треугольника $$OAH$$: $$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 250 - 25 = 225$$

$$OH = 15$$

Проведём через точку $$N$$ прямую $$ML \parallel AB$$

Площадь $$\triangle ABN = \frac{1}{2}S_{ABLM}$$ (*)

Площадь $$\triangle CND = \frac{1}{2}S_{CLMD}$$

Сумма площадей: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2}(S_{ABLM} + S_{CLMD})$$

Но $$S_{ABLM} + S_{CLMD} = S_{ABCD}$$

Таким образом: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ - трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$

Обозначим середины сторон: $$M$$ - середина $$AB$$, $$N$$ - середина $$CD$$, $$P$$ - середина $$BC$$ - меньшее основание, $$Q$$ - середина $$AD$$ - большее основание трапеции.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон:

$$MN$$ - средняя линия: $$MN = \frac{AD + BC}{2}$$

(*) Если сумма углов при основании трапеции равна $$90^\circ$$, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности длин оснований. $$PQ = \frac{|AD - BC|}{2}$$

Решаем систему:

$$AD + BC = 28$$

$$AD - BC = 12$$

Сложим уравнения:

$$(AD + BC) + (AD - BC) = 28 + 12$$

$$2AD = 40$$

$$AD = 20$$

Вычтем уравнения:

$$(AD + BC) - (AD - BC) = 28 - 12$$

$$2BC = 16$$

$$BC = 8$$

$$AD = 20$$, $$BC = 8$$

Кому интересно, доказательство утверждения (*).

Пусть $$AB \cap DC = F$$. Угол $$\angle F = 90^\circ$$.

$$BP || AQ \Rightarrow \angle FBP = \angle FAQ$$ (соответственные).

$$FP$$ - медиана из прямого угла треугольник $$BFC \Rightarrow \angle BFP = \angle FBP$$, аналогично: $$\angle AFQ = \angle FAQ$$. Тогда $$\angle BFP = \angle AFQ \Rightarrow F, P, Q$$ лежат на одной прямой.

По свойству медианы, опущенной на гипотенузу: $$FP = \frac{BC}{2}$$, $$FQ = \frac{AD}{2}$$. При этом $$PQ = FQ - FP = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$$