Найдите все значения $$k$$, при каждом из которых прямая $$y = kx$$ имеет с графиком функции $$y = x^2 + 4$$ ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Постройте график функции $$y = -2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Парабола проходит через точки $$K(0;\,-5)$$, $$L(3;\,10)$$, $$M(-3;\,-2)$$. Найдите координаты её вершины.

Известно, что парабола проходит через точку $$B(-1; -\frac{1}{4})$$ и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает $$y = -16$$.

Постройте график функции $$y = |x|(x + 3) - 5x$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Найдите наименьшее значение выражения $$(5x - 4y + 30)^2 + (3x - y - 1)^2$$ и значения $$x$$ и $$y$$, при которых оно достигается.

Найдите наименьшее значение выражения $$|6x + 5y + 7| + |2x + 3y + 1|$$ и значения $$x$$ и $$y$$, при которых оно достигается.

Найдите все значения $$a$$, при которых неравенство $$x^2 + (2a + 4)x + 8x + 1 \le 0$$ не имеет решений.

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Найдите длину отрезка $$KP$$, если $$AP=18$$, а сторона $$AC$$ в $$1,2$$ раза больше стороны $$BC$$ .

Окружность с центром на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ проходит через вершину $$C$$ и касается прямой $$AB$$ в точке $$B$$. Найдите диаметр окружности, если $$AB=15$$, $$AC=25$$.