Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ при боковой стороне $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$F$$. Найдите $$AB$$, если $$AF=24$$, $$BF=10$$.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны $$15$$ и $$7$$, а средняя линия равна $$10$$.

Точка $$H$$ является основанием высоты $$BH$$, проведённой из вершины прямого угла $$B$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$. Окружность с диаметром $$BH$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CB$$ в точках $$P$$ и $$K$$ соответственно. Найдите $$PK$$, если $$BH=11$$.

Медиана $$BM$$ и биссектриса $$AP$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$K$$, длина стороны $$AC$$ относится к длине стороны $$AB$$ как $$7:10$$. Найдите отношение площади треугольника $$AKM$$ к площади треугольника $$ABC$$.

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, радиус вписанной окружности равен $$2$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AB=12$$.

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами $$8$$ и $$9$$. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Найдите $$BN$$, если $$MN=13$$, $$AC=65$$, $$NC=28$$.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $$18$$ и $$30$$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

В окружности с центром $$O$$ проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$ так, что центральные углы $$AOB$$ и $$COD$$ равны. На эти хорды опущены перпендикуляры $$OK$$ и $$OL$$. Докажите, что $$OK$$ и $$OL$$ равны.

В окружности через середину $$O$$ хорды $$AC$$ проведена хорда $$BD$$ так, что дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны. Докажите, что $$O$$ — середина хорды $$BD$$.