На стороне $$BC$$ квадрата $$ABCD$$ взята точка $$K$$. Докажите, что площадь треугольника $$AKD$$ равна половине площади квадрата.

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$F$$, причем $$AF:FC=3:1$$, $$BF:FD=4:3$$, $$\cos\angle ADB=0,25$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$BAC$$, если $$AC=4$$.

Найдите значение выражения $$\frac{3,6\cdot 10^{5}}{3\cdot 10^{7}}$$

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{450} \cdot \sqrt{40}}{\sqrt{20}}$$.

Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, разность которой равна $$5,5$$, $$a_1 = 9,5$$. Найдите $$a_{16}$$.

Прямая касается окружности в точке $$K$$. Точка $$O$$ – центр окружности. Хорда $$KM$$ образует с касательной угол, равный $$80^\circ$$. Найдите величину угла $$OMK$$. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Если угол тупой, то смежный с ним угол является острым.
2. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
3. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0 \\ 2x^2 - y^2 = 31 \end{aligned}\right.$$

В каждом вагоне находится одинаковое число пассажиров. Количество пассажиров в одном вагоне превосходит число вагонов на $$9$$. Когда на станции во второй вагон вошли $$10$$ человек, а из остальных вышло по $$10$$ человек, то число пассажиров во втором вагоне оказалось равным числу пассажиров, оставшихся во всех остальных вагонах. Сколько пассажиров было первоначально в каждом вагоне?