Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении $$3 : 5$$, а в другом – в отношении $$1 : 3$$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить $$20$$ кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении $$3 : 7$$?

Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} -x^2,&\ |x| \le 1 \\ \frac{1}{x},&\ |x| > 1 \end{aligned}\right.$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ будет иметь с графиком ровно одну общую точку.

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=AB$$, медианы $$AM$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$O$$, $$AM:BF=8:5$$. Найдите $$BF$$, если площадь треугольника $$AOF$$ равна $$24$$.

Через центр $$O$$ вписанной в треугольник $$ABC$$ полуокружности проведена прямая, параллельная стороне $$BC$$ и пересекающая стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Периметр треугольника $$AMN$$ равен $$3$$, $$BC=1$$, а отрезок $$AO$$ в $$3$$ раза больше радиуса вписанной в треугольник $$ABC$$ окружности. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

Найдите значение выражения $$(\frac{3}{20}-\frac{5}{8})\cdot10$$

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $$\sqrt{54}$$. Какая это точка?
1) точка $$M$$;
2) точка $$N$$;
3) точка $$P$$;
4) точка $$Q$$.

Найдите значение выражения $$\sqrt{30} \cdot 5 \cdot \sqrt{6}$$.

При каком значении $$x$$ значения выражений $$-2 + 7x$$ и $$8x + 1$$ равны?

В коробке лежат $$50$$ карточек с написанными на них числами от $$1$$ до $$50$$. На разных карточках числа разные. Какова вероятность того, что на наугад извлечённой карточке будет число, сумма цифр которого больше $$10$$?