Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{abc}{4R}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, а $$R$$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$b$$, если $$a = 12$$, $$c = 13$$, $$S = 30$$ и $$R = 6,5$$.

Укажите неравенство, которое не имеет решений:
1) $$x^2 - 64 \ge 0$$
2) $$x^2 + 64 \le 0$$
3) $$x^2 + 64 \ge 0$$
4) $$x^2 - 64 \le 0$$

Известно, что на высоте $$2205$$ м над уровнем моря атмосферное давление составляет $$550$$ мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые $$10,5$$ м давление уменьшается примерно на $$1$$ мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте $$1995$$ м над уровнем моря.

На гипотенузу $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ опущена высота $$CH$$, $$AH = 3$$, $$BH = 27$$. Найдите $$CH$$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $$4$$. Найдите высоту этого треугольника.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Сумма углов равнобедренного треугольника равна $$180^{\circ}$$ градусам.
2. Боковые стороны любой трапеции равны.
3. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решите уравнение $$ (x^2 + x - 6)^2 + (x^2 - 9)^2 = 0 $$

Первые $$105$$ км автомобиль ехал со скоростью $$35$$ км/ч, следующие $$120$$ км — со скоростью $$60$$ км/ч, а затем $$500$$ км — со скоростью $$100$$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Постройте график функции $$y = x|x| + |x| - 5x$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.