На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён треугольник $$ABC$$. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины $$B$$.

Два автомобиля одновременно отправляются в $$560$$ - километровый пробег. Первый едет со скоростью на $$10$$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на $$1$$ ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

В трапеции $$ABCD$$ боковая сторона $$AB$$ перпендикулярна основанию $$BC$$. Окружность проходит через точки $$C$$ и $$D$$ и касается прямой $$AB$$ в точке $$E$$. Найдите расстояние от точки $$E$$ до прямой $$CD$$, если $$AD=4$$, $$BC=2$$.

Листы

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой Л и цифрой: АО, Al, А2 и так далее. Площадь листа формата АО равна 1 кв. м. Если лист формата АО разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получаются два листа формата А1. Если так же лист А1 разрезать пополам, получаются два листа формата А2 и так далее.

Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$F$$, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$F$$ — середина $$CD$$.

В амфитеатре $$16$$ рядов. В первом ряду $$54$$ места, а в каждом следующем — на $$2$$ места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Постройте график функции $$y = 3 - \frac{x + 5}{x^2 + 5x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ не имеет с графиком общих точек.

Окружность с центром на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ проходит через вершину $$C$$ и касается прямой $$AB$$ в точке $$B$$. Найдите диаметр окружности, если $$AB=1$$, $$AC=5$$.

Окружности радиусов $$4$$ и $$60$$ касаются внешним образом. Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на первой окружности, точки $$C$$ и $$D$$ — на второй. При этом $$AC$$ и $$BD$$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

Теплицы

Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 6 м. Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая и покрытие для обтяжки.