Теорему косинусов можно записать в виде $$\cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — стороны треугольника, а $$\alpha$$ — угол между сторонами $$a$$ и $$b$$. Пользуясь этой формулой, найдите величину $$\cos \alpha$$, если $$a = 5$$, $$b = 8$$ и $$c = 7$$.

Укажите решение неравенства: $$5x - x^2 \ge 0$$
1) $$[ 0;\ +\infty )$$
2) $$[ 0;\ 5 ]$$
3) $$[ 5;\ +\infty )$$
4) $$( -\infty;\ 0 ] \cup [ 5;\ +\infty )$$

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день $$5$$ капель, а в каждый следующий день — на $$5$$ капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет $$20$$ капель. Такую дневную дозу ($$20$$ капель) больной ежедневно принимает неделю, а затем уменьшает приём на $$5$$ капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние $$10$$ капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке $$5$$ мл лекарства, то есть $$150$$ капель?

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C = 90^\circ$$, $$BC = 6$$, $$AC = 15$$. Найдите $$\tan A$$.

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Угол $$ABC$$ равен $$54^\circ$$, угол $$CAD$$ равен $$41^\circ$$. Найдите угол $$ABD$$. Ответ дайте в градусах.

Периметр квадрата равен $$84$$. Найдите площадь этого квадрата.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось $$1$$ км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг $$3$$ минут назад. Найдите скорость (в км/ч) первого бегуна, если известно, что она на $$2$$ км/ч меньше скорости второго.

Постройте график функции $$y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три точки.