Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{3} - \frac{3}{x} \right| + \frac{x}{3} + \frac{3}{x} \right)$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну общую точку.

Высота $$AH$$ ромба $$ABCD$$ делит сторону $$CD$$ на отрезки $$DH=15$$ и $$CH=2$$. Найдите высоту ромба.

Точка $$K$$ — середина боковой стороны $$CD$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что площадь треугольника $$KAB$$ равна половине площади трапеции.

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ на расстояниях соответственно $$9$$ и $$32$$ от вершины $$A$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$M$$ и $$A$$ и касающейся луча $$AB$$, если $$\cos \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

План местности

Найдите значение выражения $$\left(\frac{5}{26}-\frac{3}{25}\right)\cdot \frac{13}{2}$$

На координатной прямой отмечено число $$a$$. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) $$5 - a 0$$
2) $$a - 7 > 0$$
3) $$a - 5 0$$
4) $$6 - a > 0$$

Найдите значение выражения $$\frac{a^{12} \cdot (b^5)^3}{(ab)^{13}}$$ при $$a = 2$$ и $$b = 5$$.

Найдите корень уравнения: $$-2x - 4 = 3x$$

На олимпиаде по химии участников рассаживали по трём аудиториям. В первых двух аудиториях посадили по $$110$$ человек, оставшихся проводили в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было $$400$$ участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.