В прямоугольнике диагональ равна $$42$$, а угол между ней и одной из сторон равен $$30^\circ$$ . Найдите площадь $$S$$ прямоугольника. В ответе запишите значение выражения $$S\sqrt{3}$$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
2. Если диагонали параллелограмма делят углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.
3. Если сумма трёх внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна $$210^{\circ}$$, то его четвёртый внутренний угол равен $$160^{\circ}$$.

Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{aligned} (x + y)^2 = 2y \\ (x + y)^2 = 2x \end{aligned}\right. $$

Первая прямая проходит через точки $$(0;\;4{,}5)$$ и $$(3;\;6)$$. Вторая прямая проходит через точки $$(1;\;2)$$ и $$(-4;\;7)$$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

Окружность, вписанная в треугольник $$ABC$$, касается сторон в точках $$M$$, $$N$$, $$P$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$ , если углы треугольника $$MNP$$ равны $$49^{\circ}$$,$$69^{\circ}$$ и $$62^{\circ}$$.

Ларинское

Владелец собирается провести ремонт своей квартиры. На плане (см. выше) изображена будущая расстановка мебели и бытовой техники на кухне после ремонта. Сторона каждой клетки равна 0,4 м. Кухня имеет прямоугольную форму. Единственная дверь кухни деревянная, в стене напротив двери расположено окно.

Шины

Автомобильное колесо, как правило, представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной (см. рис. 1 и рис. 2 выше). Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1).