В треугольнике $$ABC$$ проведена средняя линия $$DE$$. Площадь треугольника $$CDE$$ равна $$9$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён параллелограмм. Найдите её площадь.

Какие из следующих утверждений верны? Запишите их номера без пробелов и других дополнительных символов в порядке возрастания.

1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
2. Треугольник $$ABC$$, у которого $$AB = 5$$, $$BC = 6$$, $$AC = 7$$, является остроугольным.
3. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

Решите систему неравенств: $$\left\{\begin{aligned} \frac{3 - x}{1 + (5 - x)^2} \ge 0 \\ 8 - 7x \le 24 - 3x \end{aligned}\right.$$

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно $$60$$ км/ч и $$30$$ км/ч. Длина товарного поезда равна $$900$$ метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно $$3$$ минутам. Ответ дайте в метрах.

Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| + \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right)$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну общую точку.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CA$$ соответственно. Докажите, что $$BMKN$$ — ромб.

Найдите градусную меру меньшего угла прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$12$$, а площадь равна $$18$$.

Листы

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: АО, А1, А2 и так далее. Если лист формата АО разрезать пополам, получаются два листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам, получаются два листа формата А2 и так далее. При этом отношение длины листа к его ширине у всех форматов, обозначенных буквой А, одно и то же (то есть листы всех форматов подобны друг другу). Это сделано специально — чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменяется).