Курс воздушных ванн начинают с $$10$$ минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на $$5$$ минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет $$1$$ часа $$5$$ минут?

Центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, лежит на стороне $$AB$$. Радиус окружности равен $$20,5$$. Найдите $$BC$$, если $$AC = 9$$.

Периметр ромба равен $$12$$, а один из углов равен $$30^\circ$$. Найдите площадь ромба.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Первая труба пропускает на $$16$$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $$105$$ литров она заполняет на $$4$$ минут дольше, чем вторая труба?

Постройте график функции $$y = \left\{ \begin{aligned} -x^2 - 2x + 1,&\ x \ge -3 \\ -x - 5,&\ x < -3 \end{aligned} \right.$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ биссектриса угла $$A$$ пересекается с биссектрисой угла $$C$$ в точке $$F$$, а также пересекает сторону $$CD$$ в точке $$K$$. Известно, что угол $$AFC$$ равен $$150^{\circ}$$. Найдите $$FK$$, если $$CF=6\sqrt{3}$$.

Печи

Найдите значение выражения $$\sqrt{4a^{2}+12ab+9b^{2}}$$ при $$a=2\frac{3}{11}$$, $$b=\frac{9}{11}$$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \alpha$$, где $$b$$ и $$c$$ — две стороны треугольника, а $$\alpha$$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину $$\sin \alpha$$, если $$b = 10$$, $$c = 5$$ и $$S = 20$$.