Найдите больший угол равнобедренной трапеции $$ABCD$$, если диагональ $$AC$$ образует с основанием $$AD$$ и боковой стороной $$AB$$ углы, равные $$36^\circ$$ и $$19^\circ$$ соответственно.

Точка $$O$$ – центр окружности, на которой лежат точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Известно, что $$\angle ABC = 15^\circ$$ и $$\angle OAB = 8^\circ$$. Найдите градусную меру угла $$BCO$$. Если найденных значений несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними.

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ известно, что $$AD = 8$$, $$BC = 2$$, а её площадь равна $$35$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.
2. Вписанные углы окружности равны.
3. Если вписанный угол равен $$30^{\circ}$$, то дуга окружности, на которую он опирается, равна $$30^{\circ}$$.

Решите систему неравенств: $$\left\{\begin{aligned} \frac{2 - x}{2 - (3 - x)^2} \ge 0 \\ 6 - 9x \le 31 - 4x \end{aligned}\right.$$

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за $$8$$ ч. Если первый оператор будет работать $$3$$ ч, а второй $$12$$ ч, то они выполнят только $$75 \%$$ всей работы. За сколько часов может набрать весь текст первый оператор, работая отдельно?

Постройте график функции $$y = \left\{ \begin{aligned} x^2 + 2x + 3,&\ x \ge -3 \\ x + 9,&\ x < -3 \end{aligned} \right.$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Найдите длину отрезка $$KP$$, если $$AP=34$$, а сторона $$AC$$ в $$2$$ раза больше стороны $$BC$$ .

В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AB$$ . Известно, что $$EC=ED$$. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.