Найдите наибольшее значение выражения $$\frac{x^3 - y}{x^2 + 1} - \frac{x^2y - x}{x^2 + 1}$$, если $$x$$ и $$y$$ связаны соотношением $$y = x^2 + x - 4$$.

В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD$$ вдвое больше основания $$BC$$ и вдвое больше боковой стороны $$CD$$. Угол $$ADC$$ равен $$60^{\circ}$$, сторона $$AB$$ равна $$4$$. Найдите площадь трапеции.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

В окружности с центром в точке $$O$$ проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$. Прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$M$$, лежащей вне круга, ограниченного этой окружностью. При этом $$AM=36$$, $$BM=6$$, $$CD=4\sqrt{46}$$. Найдите $$OM$$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$105$$ км. На следующий день он отправился обратно в $$A$$, увеличив скорость на $$7$$ км/ч. По пути он сделал остановку на $$4$$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$B$$ в $$A$$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$135$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$9$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$4$$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.

Найдите значение выражения: $$\frac{1,5}{1+\frac{1}{5}}$$

Имеются два сосуда, содержащие $$12$$ кг и $$8$$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий $$65 \%$$ кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать $$60 \%$$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Высота $$AH$$ ромба $$ABCD$$ делит сторону $$CD$$ на отрезки $$DH=20$$ и $$CH=5$$. Найдите высоту ромба.

На координатной прямой изображены точки $$A(a)$$ и $$B(b)$$. Какое из следующих неравенств неверно? В ответе укажите номер правильного варианта ответа.
1) $$b + 24 > a + 21$$
2) $$b - 39 > a - 40$$
3) $$\frac{b}{3} \frac{a}{3}$$
4) $$-b -a$$