ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 338.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1-5
Квартиры
На плане (см. рис. выше) изображена схема квартиры. Сторона каждой клетки на плане соответствует 1 м. Квартира имеет прямоугольную форму. Вход и выход осуществляются через единственную дверь. При входе в квартиру расположен коридор, отмеченный цифрой 1, а справа находится кладовая комната, которая занимает площадь в 20 кв. м. Гостиная занимает наибольшую площадь в квартире, а слева от неё находится кухня. Прямо перед гостиной находится детская. В верхнем правом углу схемы находится санузел, отмеченный цифрой 6. Прямо напротив него располагается ванная комната. В санузле и ванной комнате пол выложен плиткой, которая имеет размер 0,5 м х 0,5 м. В квартире стоит однотарифный счётчик электроэнергии. Имеется возможность установить двухтарифный счётчик. 1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других разделительных символов.
| Объекты | гостиная | кухня | ванная комната | кладовая комната |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
| Счётчик | Однотарифный | Двухтарифный |
|---|---|---|
| Стоимость оборудования и монтажа (тыс. руб.) | 5,1 | 10 |
| Средняя потребляемая мощность (кВт) | 3,5 | 3,5 |
| Стоимость оплаты днём (06:00‐23:00) (руб./(кВт∙ч)) | 2 | 2 |
| Стоимость оплаты ночью (23:00‐06:00) (руб./(кВт∙ч)) | 2 | 1 |
Поскольку гостиная занимает наибольшую площадь в квартире, можно заключить, что она обозначена на схеме цифрой 4.
Слева от гостиной находится кухня, следовательно, она обозначена цифрой 2.
Ванная комната находится напротив санузла, значит, ванная обозначена на схеме цифрой 7.
Кладовая комната расположена справа от коридора, следовательно, она обозначена цифрой 3.
Заметим, что, поскольку одна плитка имеет площадь 0,25 м2, чтобы выложить 1 м2 пола плиткой, понадобится 4 плитки.
Площадь санузла равна 6 · 4 = 24 м2. Площадь ванной равна 4 · 5 = 20 м2.
Теперь найдём, сколько упаковок плитки понадобилось: $$\frac{(24+20)\cdot4}{5}=35,2$$.
Следовательно, чтобы выложить пол в ванной комнате и санузле понадобится 36 упаковок плитки.
Сторона одной клетки равна 1 м. Значит, площадь гостиной равна: $$7\cdot6=42$$ м2.
Найдём расстояние между двумя ближайшими точками по прямой верхнего левого угла квартиры и нижнего правого угла квартиры по теореме Пифагора:
$$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$$.
Разница в стоимости установки двухтарифного и однотарифного счётчиков равна $$10 − 5,1 = 4,9$$ тыс. руб.
День использования электроэнергии с однотарифным счётчиком стоит $$2 · 3,5 · 24 = 168$$ руб.
День использования электроэнергии с двухтарифным счётчиком стоит $$3,5 · 2 · 17 + 3,5 · 1 · 7 = 143,5$$ руб.
Разница в стоимости составляет $$168 − 143,5 = 24,5$$ руб.
Значит, экономия от использования двухтарифного счётчика вместо однотарифного компенсирует разность в стоимости установки двухтарифного и однотарифного счётчиков через $$\frac{4900}{24,5}=200$$ дней.
Задание 9
Найдите все действительные значения $$a$$, при каждом из которых выполняется неравенство $$f(a)\geq f(a+2)$$. Установите соответствие между функциями $$f(x)$$ и найденными значениями $$a$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = x - \frac{1}{x-1}$$
Б) $$f(x) = \frac{x+7}{x+5} + \frac{x-2}{x+6}$$
В) $$f(x) = x^2 + 5x + 7$$
Г) $$f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{x-3}$$
Ответы:
1) $$a \in (-\infty;-29-\sqrt{727}] \cup (-8;-6) \cup [\sqrt{727}-29;3) \cup (5;+\infty)$$
2) $$a \in [3;+\infty)$$
3) $$a \in (-\infty;-6) \cup (-\frac{7}{2};1)$$
4) $$a \in (-1;1)\quad$$
| А | Б | В | Г |
А) $$a-\frac{1}{a-1}\geq a+2-\frac{1}{a+1}\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a-1}-2\geq0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\frac{a-1-a-1-2a^2+2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Leftrightarrow\frac{-2a^2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}\leq0\Rightarrow\left[\begin{matrix} a=0\\ (a-1)(a+1)<0 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} a=0\\ a\in(-1;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow a\in(-1;1)\Rightarrow 4$$
Б) $$\frac{a+7}{a-5}+\frac{a-2}{a+6}\geq\frac{a+9}{a-3}+\frac{a}{a+8}\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow1+\frac{12}{a-5}+1-\frac{8}{a+6}\geq1+\frac{12}{a-3}+1-\frac{8}{a+12}\Rightarrow 1$$, т.к. там есть $$-6;3;5$$
В) $$a^2+5a+7\geq(a+2)^2+5(a+2)+7\Rightarrow a^2+5a+7\geq a^2+4a+4+5a+17\Rightarrow$$
$$\Rightarrow-4a\geq14\Rightarrow a\leq-\frac{7}{2}\Rightarrow 3$$
Задание 10
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $$r = \frac{1}{2}(a + b - c)$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$b$$, если $$r = 1,2$$, $$c = 6,8$$, $$a = 6$$.
Выразим $$b$$ из предложенной формулы. Для этого сначала выразим чему равно делимое $$a + b - c$$, а после этого выразим значение самого катета $$b$$:
$$a + b - c = 2r$$
$$b = 2r + c - a$$
Подставим известные данные в формулу и получим результат:
$$b = 2 ⋅ 1,2 + 6,8 - 6 = 3,2$$
Задание 11
Решите систему неравенств:
$$\left\{\begin{aligned} 6x + 18 \le 0 \\ x + 8 \ge 2 \end{aligned}\right.$$
1) $$[ -6;\ -3 ]$$
2) $$[ 3;\ 6 ]$$
3) $$( -\infty,\ 3 ] \cup [ 6;\ +\infty )$$
4) $$( -\infty,\ -6 ] \cup [ -3;\ +\infty )$$
$$\left\{\begin{matrix}6x+18\leq0\\ x+8\geq2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}6x \leq -18\quad|:6 \\ x\geq 2-8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x \leq -3\\ x\geq -6 \end{matrix}\right.$$ Получаем, что $$x \in [-6;-3]\Rightarrow 2$$
Задание 12
Бригада маляров красит забор длиной $$270$$ метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила $$90$$ метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Эта задача решается просто, учитывая, что сумма любой пары дней, отстоящих по счёту на одинаковое расстояние от начала и конца, одинакова, получаем:
$$\frac{270}{90}$$ = 3 пары дней, или 6 дней.
Задание 13
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен $$\frac{1}{2}$$. Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно $$55$$.
$$\tg\alpha=\frac{h}{x}$$
$$x=h:\tg\alpha$$
$$h = 55$$
$$x = 55 : \frac{1}{2}=55\cdot\frac{2}{1} = 110$$
Основание $$= 55 + х = 55 + 110 = 165$$
Задание 14
Дана окружность с центром в точке $$O$$, на которой отмечены точки $$K$$, $$M$$ и $$N$$. Найдите градусную меру угла $$KOM$$, если известно, что градусная мера дуги $$MN$$ равна $$124^\circ$$, а градусная мера дуги $$KN$$ равна $$180^\circ$$.
Поскольку на окружности дуга KN определяет угол KON, равный 180°, то на угол КОМ, при вычитании из него градусной меры дуги MN, равной 124°, остаётся всего градусная мера в:
$$180° - 124° = 56°$$
Задание 15
Пусть $$A(0;0)\Rightarrow B(2;3); C(2;-3)$$. Пусть M - середина BC $$\Rightarrow M_x=\frac{2+2}{2}=2; M_y=\frac{3+(-3)}{2}=0\Rightarrow M(2;0)$$.
Тогда $$|AM|=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{2^2}2$$.
Задание 16
Даны два равносторонних треугольника ABD и BCE. Построена четверть окружности FGED с центром F и радиусом FD = FE = FG. Точки A, F, B, G и C лежат на одной прямой (см. рис.). Найдите длину отрезка DE, если известно, что площадь сектора круга FGED равна $$9\pi$$.
1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).
2) Если площадь четверти круга равна $$9\pi$$, то площадь всего круга равна $$4\cdot9\pi = 36\pi$$
Но площадь круга $$S = πR² = 36π$$, откуда $$R² = 36$$ и $$FD = R = 6$$
3) высота в равностороннем треугольнике $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
(если не помним, то из ∆DFB - прямоугольный. По теореме Пифагора:
$$FD² = DB² - FB², FB=\frac{DB}{2}$$
$$FD² = DB² - (\frac{DB}{2})² = \frac{3DB²}{4}$$ и $$FD = \frac{DB\sqrt{3}}{2}$$)
Таким образом $$DB = \frac{2FD}{\sqrt{3}} = 2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$
4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)
5) Рассмотрим ∆FBE: $$FE = 6; FB = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{3}$$ и $$∠FBE = 120˚$$
По теореме косинусов $$FE² = FB² + BE² - 2FB\cdot BE\cdot \cos(∠FBE)$$
$$36 = 12 + BE² - 2\cdot2\sqrt{3}\cdot(-0,5)\cdot BE$$
$$BE² + 2\sqrt{3}BE - 24 = 0$$
$$D = 12 + 4\cdot24 = 108 = 3\cdot36$$
$$ВЕ = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ (второй корень отрицательный и не подходит)
Получили BE = FB
6) Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6
Задание 17
Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других разделительных символов.
- Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.
- Через любые две точки можно провести прямую.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.
1) неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.
2) верно, это аксиома геометрии.
3) верно, это теорема планиметрии.
Задание 19
Смешали некоторое количество $$18$$ - процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $$22$$ - процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна $$\omega=\frac{m_{в-ва}}{m_{р-ра}}\cdot100\%$$. Пусть масса получившегося раствора $$2m$$. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
$$\omega=\frac{0,18m+0,22m}{2m}\cdot100\%=\frac{0,4}{2}\cdot100\%=20\%$$
Задание 20
Прямая $$y = 2x + b$$ касается окружности $$x^2 + y^2 = 5$$ в точке с отрицательной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 21
Окружности с центрами в точках $$I$$ и $$J$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$, причём точки $$I$$ и $$J$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$. Докажите, что отрезки $$AB$$ и $$AJ$$ перпендикулярны.
Точка I равноудалена от точек A и B, поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Аналогично, точка J лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Значит, прямая, содержащая точки I и J, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.
Задание 22
В параллелограмме $$ABCD$$ проведена диагональ $$AC$$. Точка $$O$$ является центром окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$. Расстояния от точки $$O$$ до точки $$A$$ и прямых $$AD$$ и $$AC$$ соответственно равны $$10$$, $$8$$ и $$6$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$.
Окружность вписана в треугольник ABC с радиусами $$OM=ON=OP$$ и перпендикулярными сторонам AB, BC, AC соответственно. По теореме об отрезках касательных, имеем:
$$MB=BN, AM=AP, CN=CP$$.
Пусть $$BM=BN=x$$, а $$CN=CP=y$$. Тогда $$BC=AD=x+y$$. Отрезок $$NN_1=AH=8+6=14$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора найдем сторону AM:
$$AM=\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$$
Значит, $$AP=AM=8$$. Найдем величину $$x+y$$ из формулы площади треугольника ABC:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}(x+y)\cdot14$$
Эту же площадь можно вычислить как
$$S_{ABC}=p\cdot r$$,
где $$p=\frac{1}{2}\cdot(AB+BC+AC)=8+x+y$$ - полупериметр треугольника ABC; $$r=6$$ – радиус вписанной окружности. Приравниваем площади, получаем уравнение:
$$7\cdot(x+y)=(x+y+8)\cdot6$$
$$7(x+y)-6(x+y)=48$$
$$x+y=48$$
Значит, $$BC=AD=48$$ и площадь параллелограмма, равна:
$$S_{ABCD}=AD\cdot H=48\cdot14=672$$