Задание 649
Задание 649
Найдите все действительные значения $$a$$, при каждом из которых выполняется неравенство $$f(a)\geq f(a+2)$$. Установите соответствие между функциями $$f(x)$$ и найденными значениями $$a$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = x - \frac{1}{x-1}$$
Б) $$f(x) = \frac{x+7}{x+5} + \frac{x-2}{x+6}$$
В) $$f(x) = x^2 + 5x + 7$$
Г) $$f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{x-3}$$
Ответы:
1) $$a \in (-\infty;-29-\sqrt{727}] \cup (-8;-6) \cup [\sqrt{727}-29;3) \cup (5;+\infty)$$
2) $$a \in [3;+\infty)$$
3) $$a \in (-\infty;-6) \cup (-\frac{7}{2};1)$$
4) $$a \in (-1;1)\quad$$
| А | Б | В | Г |
А) $$a-\frac{1}{a-1}\geq a+2-\frac{1}{a+1}\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a-1}-2\geq0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\frac{a-1-a-1-2a^2+2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Leftrightarrow\frac{-2a^2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}\leq0\Rightarrow\left[\begin{matrix} a=0\\ (a-1)(a+1)<0 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} a=0\\ a\in(-1;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow a\in(-1;1)\Rightarrow 4$$
Б) $$\frac{a+7}{a-5}+\frac{a-2}{a+6}\geq\frac{a+9}{a-3}+\frac{a}{a+8}\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow1+\frac{12}{a-5}+1-\frac{8}{a+6}\geq1+\frac{12}{a-3}+1-\frac{8}{a+12}\Rightarrow 1$$, т.к. там есть $$-6;3;5$$
В) $$a^2+5a+7\geq(a+2)^2+5(a+2)+7\Rightarrow a^2+5a+7\geq a^2+4a+4+5a+17\Rightarrow$$
$$\Rightarrow-4a\geq14\Rightarrow a\leq-\frac{7}{2}\Rightarrow 3$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 684
Найдите все такие значения $$x$$, при каждом из которых график функции $$y = f(x)$$ лежит ниже графика функции $$y = g(x)$$. Установите соответствие между функциями и найденными значениями $$x$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = 1 - \frac{4}{x-2},\; g(x) = \frac{5}{x^2-4x+4}$$
Б) $$f(x) = 1 - \frac{4}{x-3},\; g(x) = \frac{5}{x^2-6x+9}$$
В) $$f(x) = \frac{5x-2}{4x+3},\; g(x) = \frac{6x-4}{5x+1}$$
Г) $$f(x) = x^2 + 3x - 4,\; g(x) = -x^2 + 5x + 8$$
Ответы:
1) $$\left(-\frac{3}{4};-\frac{1}{5}\right) \cup (2;5)$$
2) $$(2;3)\cup(3;8)$$
3) $$(1;2)\cup(2;7)$$
4) $$(-2;3)$$
| А | Б | В | Г |
А)
$$1-\frac{4}{x-2}<\frac{5}{x^2-4x+4}\Leftrightarrow1-\frac{4}{x-2}<\frac{5}{(x+2)^2}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} (x-2)^2-4(x-x)-5<0\\ x\neq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-8x+7<0\\ x\neq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} (x-7)(x-1)<0\\ x\neq2 \end{matrix}\right.\Rightarrow 3$$
Б)
$$1-\frac{4}{x-3}<\frac{5}{x^2-6x+9}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} (x-3)^2-4(x-3)-5<0\\ x\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-10x+16<0\\ x\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} (x-2)(x-8)<0\\ x\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2$$
Г)
$$x^2+3x-4<-x^2+5x+8\Rightarrow 2x^2-2x-12<0\Rightarrow x^2-x-6<0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow (x-3)(x+2)<0\Rightarrow 4$$
Получим $$3214$$.
Задание 787
Найдите все такие значения $$x$$, при каждом из которых функция $$f(x)$$ принимает отрицательные значения. Установите соответствие между функциями и значениями $$x$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = (x^2-2)(53x-75)$$
Б) $$f(x) = x^8 - x^5 + x^2 - x + 1$$
В) $$f(x) = x^2 + (x+2)^2 - \frac{60}{x^2+2x+3}$$
Г) $$f(x) = \frac{1}{x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 + 2x + 3}$$
Ответы:
1) $$\varnothing$$
2) $$(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$
3) $$(-3;1)$$
4) $$(-1;0)$$
| А | Б | В | Г |
А)
$$f(x)=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x^2-2=0\\ 53x-75=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$$ и $$x=\frac{75}{53}$$
Очевидно, что это 2.
Б)
$$x^8-x^5+x^2-x+1=x^2(x^6+1)-x(x^6+1)+1=(x^6+1)(x^2-x)+1$$
При этом $$min(x^2-x)=(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$ и $$x^2-x=0$$ при $$x=0$$ и $$x=1.$$ При $$x\in(0;1)$$ имеем $$x^6+1\in(1;2)\Rightarrow (x^6+1)(x^2-x)$$ не выйдет за границы $$(2\cdot(-\frac{1}{4});1\cdot(-\frac{1}{4})),$$ т.е. $$(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4})\Rightarrow$$ с учётом, что прибавляется 1, то выражение всегда положительное $$\Rightarrow 1$$ ответ.
Г)
Пусть $$x^2+x=y: \frac{1}{y}-\frac{1}{2y+3}<0\Rightarrow \frac{2y+3-y}{y(2y+3)}<0\Rightarrow \frac{y+3}{y(2y+3)}<0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow y\in(-\infty;-3);(-\frac{3}{2};0).$$ Получим:
$$\left[\begin{matrix} x^2+x<-3\\ \left\{\begin{matrix} x^2+x>-\frac{3}{2}\\ x^2+x<0 \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} \varnothing\\ \left\{\begin{matrix} x\in R\\ x^2+x<0 \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2+x<0\Rightarrow x\in(-1;0)\Rightarrow 4$$ вариант.
Примечание от наборщика.
Ларин - чудак, такое детям в простом варианте не дают. Маразм крепчал.
Задание 614
Найдите все действительные значения $$x$$, при каждом из которых каждая из функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ лежит выше графика функции $$h(x)$$. Установите соответствие между функциями $$f(x),\; g(x),\; h(x)$$ и значениями $$x$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = x^2 - 3x,\; g(x) = \frac{4-x}{2+x},\; h(x) = x$$
Б) $$f(x) = x^2 + 3x,\; g(x) = \frac{4+x}{2+x},\; h(x) = x+2$$
В) $$f(x) = \sqrt{x-2},\; g(x) = \frac{5-x^2}{3-x},\; h(x) = x-4$$
Г) $$f(x) = \sqrt{x^2+6},\; g(x) = \frac{8-x^2}{3-x},\; h(x) = 2$$
Ответы:
1) $$x \in [2;\; \frac{17}{7}) \cup (3;6)$$
2) $$x \in (1-\sqrt{3};\; 1+\sqrt{3}) \cup (3;+\infty)$$
3) $$x \in (-\infty;-4)\cup(-2;0)$$
4) $$a \in (-\infty;-3)$$
| А | Б | В | Г |
От автора сайта:
Решать это задание не вижу смысла. Вам тоже не советую тратить время. Там каждый раз составляется система вида $$\left\{\begin{matrix} f(x)>h(x)\\ g(x)>h(x) \end{matrix}\right.$$.
Не тяжело, но руками это набирать на сайт не буду.