Задание 3336
Задание 3336
При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 - 6px + p$$ и $$y = -x^2 + 2px + 3$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$
Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$
По одну сторону от OX:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$
Задание 4396
При каких значениях $$m$$ вершины парабол $$y = -x^2 + 2mx + 4$$ и $$y = x^2 + 4mx + 2m$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 777
При каких значениях $$a$$ вершины парабол $$y = x^2 - 4ax + a$$ и $$y = -x^2 + 8ax + 4$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?
Для первой $$x_{0_1}=-\frac{-4a}{2}=2a,$$ для второй $$x_{0_2}=-\frac{8a}{-2}=4a$$
$$f(x_{0_1})=(2a)^2-4a\cdot2a+a=-4a^2+a$$
$$f(x_{0_2})=-(4a)^2+8a\cdot4a+4=16a^2+4$$
$$\left\{\begin{matrix} -4a^2+a>0\\ 16a^2+4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -4a(a-\frac{1}{4})>0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a(a-\frac{1}{4})<0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\in(0;\frac{1}{4})$$
Вариант, когда оба отрицательные, не имеет решений.
Задание 827
При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 + 4px - 1$$ и $$y = -x^2 + 6px - p$$ расположены по разные стороны от оси $$x$$?
Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_n=-\frac{b}{2a}.$$ Координата $$y_в$$ вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси $$x,$$ если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:
$$(4p^2-8p^2-1)(-9p^2+18p^2-p)<0\Leftrightarrow(-4p^2-1)(9p^2-p)<0$$
Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.
$$9p(p-\frac{1}{9})>0\Leftrightarrow p(p-\frac{1}{9})>0$$
Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:
$$\left[\begin{matrix} p<0\\ p>\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$
Задание 1357
При каких значениях $$t$$ вершины парабол $$y = x^2 - 4mx + m$$ и $$y = -x^2 + 8mx + 4$$ расположены по одну сторону от оси $$Ox$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
