Задание 82

1) Пусть $$AH \cap BK = M$$, тогда углы $$\angle KMA$$ и $$\angle HMB$$ вертикальные: $$\angle KMA = \angle HMB.$$

2) Так как $$AH$$ и $$BK$$ — высоты, то $$\angle AKM = 90^\circ,\quad \angle MHB = 90^\circ.$$ Следовательно, $$\triangle AMK \sim \triangle HMB,$$ откуда $$\frac{KM}{HM} = \frac{AM}{MB}$$ (отношение противолежащих сторон при равных углах)($$\ast$$).

3) Углы $$\angle KMH$$ и $$\angle AMB$$ вертикальные, поэтому $$\angle KMH = \angle AMB.$$ С учётом ($$\ast$$) получаем подобие $$\triangle KMH \sim \triangle AMB,$$ откуда $$\angle KHM = \angle MBA.$$

4) Заметим, что лучи $$HA$$ и $$HM$$ являются продолжениями друг друга, а лучи $$BK$$ и $$BM$$ — тоже продолжения. Поэтому $$\angle AHK$$ и $$\angle KHM$$ один и тот же угол, $$\angle ABK$$ и $$\angle MBA$$ так же. Равенство острых углов $$\angle KHM = \angle MBA$$ влечёт равенство их смежных: $$\angle AHK = \angle ABK.$$