Задание 819
Задание 819
Дана функция $$f(x) = x + \frac{3}{x}$$. Установите соответствие между уравнениями и их решениями. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих A, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Уравнения
A) $$f(x+2) = f(x)$$
Б) $$f(x+1) = f(x+2)$$
В) $$f(x-5) = f(2-x)$$
Г) $$f(\sqrt{x}-5) = f(x-\frac{21}{2})$$
Решения
1) $$\left\{ \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \right\}$$
2) $$\left\{ \frac{12 + \sqrt{23}}{2};\; 9;\; \frac{37 + 2\sqrt{70}}{2} \right\}$$
3) $$\{-3;\; 1\}$$
4) $$\left\{ \frac{7}{2} \right\}$$
А) $$f(x+2)=x+2+\frac{3}{x+2}$$
$$x+2+\frac{3}{x+2}=x+\frac{3}{x}\Leftrightarrow\frac{3}{x}-\frac{3}{x+2}=2\Rightarrow 3x+6-3x=2x^2+4x\Rightarrow$$
$$\Rightarrow2x^2+4x-6=0\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=-3\\ x=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x=3.$$
Б) $$f(x+1)=x+1+\frac{3}{x+1}\Rightarrow x+2+\frac{3}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+1}\Rightarrow \frac{3}{x+1}-\frac{3}{x+2}=1\Rightarrow$$
$$\Rightarrow3x+6-3x-3=x^2+3x+2\Rightarrow x^2+3x-1=0\Rightarrow D=9+4=(\sqrt{13})^2\Rightarrow$$
$$\Rightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}\Rightarrow 1.$$
В) Проверим $$x=\frac{7}{2}: f(\frac{7}{2}-5)=f(2-\frac{7}{2})\Rightarrow f(-1,5)=f(-1,5)\Rightarrow x=4.$$
Получим: $$3142.$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 859
Дана функция $$f(x) = x^2 + 1$$. Установите соответствие между уравнениями и их решениями. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих A, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Уравнения
A) $$f(3t - 1) = f(1 - 2t)$$
Б) $$f(-3t^2 + 5t - 7) = f(-55 - 5t + 4t^2)$$
В) $$f(2t - 3) = f(\frac{1}{3}t - 5)$$
Г) $$f(3\sqrt{t} - 5) = f(39 - 10t)$$
Решения
1) $$\left\{0;\; \frac{5}{6}\right\}$$
2) $$\left\{-2;\; \frac{24}{7};\; \pm\sqrt{62}\right\}$$
3) $$\left\{\frac{7}{6};\; 2\right\}$$
4) $$\left\{4;\; \frac{889 - 3\sqrt{1769}}{200}\right\}$$
1) $$f(3t-1)=(3t-1)^2+1; f(1-2t)=(1-2t)^2+1.$$
$$f(3t-1)=f(1-2t)\Leftrightarrow (3t-1)^2+1=(1-2t)^2+1\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 3t-1=1-2t\\ 3t-1=-1+2t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 5t=2\\ t=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=0,4\\ t=0 \end{matrix}\right.$$
$$f(3\cdot0-1)=f(-1)=(-1)^2+1=2$$
2) $$f(-3t^2+5t-7)=f(-55-5t+4t^2)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\left[\begin{matrix} -3t^2+5t-7=-55-5t+4t^2\\ -3t^2+5t-7=55+5t-4t^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 7t^2-10t-48=0\\ t^2=62 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=-2;\frac{24}{7}\\ t=\pm\sqrt{62} \end{matrix}\right.$$
3) $$\left[\begin{matrix} 2t-3=\frac{1}{3t-5}\\ 2t-3=\frac{1}{5-3t} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 6t^2-19t+15=1\\ -6t^2+19-15=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 6t^2-19t+14=0\\ 6t^2-19t+16=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=2\\ t=\frac{7}{6} \end{matrix}\right.$$
Получим $$1;2;3;4.$$