Задание 797
Задание 797
Дан полукруг диаметром $$AB$$ и три равных друг другу полукруга диаметрами $$AC$$, $$CD$$ и $$DB$$ (см. рис.). На полуокружности диаметром $$AB$$ взяты точки $$E$$ и $$F$$ так, что полуокружность диаметром $$EF$$ проходит через точки $$C$$ и $$D$$. Найдите площадь полукруга диаметром $$EF$$, если $$AC = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$$.
Пусть O - середина EF, Q - середина CD, $$EO=OF=R, AC=CD=DB=r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}.$$ В треугольнике EOQ по теореме Пифагора:
$$(\frac{3r}{2})^2=R^2+OQ^2 \Leftrightarrow OQ^2=\frac{9r^2}{4}-R^2. \quad \quad(1)$$
В треугольнике DQO по теореме Пифагора:
$$OQ^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \quad \quad(2)$$
Подставляя (1) в (2), получим:
$$\frac{9r^2}{4}-R^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \Leftrightarrow R^2= \frac {5r^2}{4} \quad \quad(3)$$
С учётом (3) искомая площадь S:
$$S=\frac {\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac {5r^2}{4} = \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{16}{\pi} =10.$$