Задание 793
Задание 793
Постройте график функции $$y = \frac{(x - 9)(x^2 - 9)}{x^2 - 6x - 27}$$. Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых прямая $$y = ax$$ не имеет с графиком данной функции ни одной общей точки.
Область определения функции: функция существует, если знаменатель дроби не обращается в нуль, т.е. $$x^2-6x-27\neq0$$
$$(x-3)^2-36\neq0$$
$$(x-3-6)(x-3+6)\neq0$$
$$(x-9)(x+3)\neq0$$
$$x_1\neq9$$
$$x_2\neq-3$$
Упростим функцию: $$y=\frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-9)}=x-3$$
Получили линейную функцию; графиком линейной функции является прямая, проходящая через точки $$(0;-3), (3;0).$$
Графики функций не имеют общих точек, если $$y=kx$$ проходит через выколотые точки, т.е. через точки $$(9;6), (-3;-6)$$
Подставляя координаты, получим:
$$6=9k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$$
$$-6=-3k\Rightarrow k=2$$
Решим теперь уравнение $$kx=x-3\Rightarrow x=\frac{3}{1-k}$$
Очевидно, что при $$k=1$$ уравнение решений не имеет, а следовательно, графики функций при k=1 не имеют общих точек.
Ответ: $$\frac{2}{3}; 1; 2.$$