Задание 787
Задание 787
Найдите все такие значения $$x$$, при каждом из которых функция $$f(x)$$ принимает отрицательные значения. Установите соответствие между функциями и значениями $$x$$. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.
Функции:
A) $$f(x) = (x^2-2)(53x-75)$$
Б) $$f(x) = x^8 - x^5 + x^2 - x + 1$$
В) $$f(x) = x^2 + (x+2)^2 - \frac{60}{x^2+2x+3}$$
Г) $$f(x) = \frac{1}{x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 + 2x + 3}$$
Ответы:
1) $$\varnothing$$
2) $$(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$
3) $$(-3;1)$$
4) $$(-1;0)$$
| А | Б | В | Г |
А)
$$f(x)=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x^2-2=0\\ 53x-75=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$$ и $$x=\frac{75}{53}$$
Очевидно, что это 2.
Б)
$$x^8-x^5+x^2-x+1=x^2(x^6+1)-x(x^6+1)+1=(x^6+1)(x^2-x)+1$$
При этом $$min(x^2-x)=(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$ и $$x^2-x=0$$ при $$x=0$$ и $$x=1.$$ При $$x\in(0;1)$$ имеем $$x^6+1\in(1;2)\Rightarrow (x^6+1)(x^2-x)$$ не выйдет за границы $$(2\cdot(-\frac{1}{4});1\cdot(-\frac{1}{4})),$$ т.е. $$(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4})\Rightarrow$$ с учётом, что прибавляется 1, то выражение всегда положительное $$\Rightarrow 1$$ ответ.
Г)
Пусть $$x^2+x=y: \frac{1}{y}-\frac{1}{2y+3}<0\Rightarrow \frac{2y+3-y}{y(2y+3)}<0\Rightarrow \frac{y+3}{y(2y+3)}<0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow y\in(-\infty;-3);(-\frac{3}{2};0).$$ Получим:
$$\left[\begin{matrix} x^2+x<-3\\ \left\{\begin{matrix} x^2+x>-\frac{3}{2}\\ x^2+x<0 \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} \varnothing\\ \left\{\begin{matrix} x\in R\\ x^2+x<0 \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2+x<0\Rightarrow x\in(-1;0)\Rightarrow 4$$ вариант.
Примечание от наборщика.
Ларин - чудак, такое детям в простом варианте не дают. Маразм крепчал.