Задание 63
Задание 63
Постройте график функции $$y = x^2 - 3|x| - 10$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
1) Раскроем модуль:
При $$x \ge 0$$: $$y = x^2 - 3x - 10.$$ (красный пунктир) При $$x < 0$$: $$y = x^2 + 3x - 10$$ (синий пунктир).
Это две параболы, открытые вверх.
Первая имеет вершину при $$x = \frac{3}{2},$$ вторая — при $$x = -\frac{3}{2}.$$ Обе вершины принадлежат своим областям: первая — к $$x \ge 0,$$ вторая — к $$x < 0.$$ Поэтому на графике функции каждая парабола присутствует почти целиком (обрезана только по другую сторону от нуля).
2) Горизонтальная прямая $$y = k$$ может пересекать каждую параболу максимум в двух точках. Для значений $$k$$, лежащих выше обеих вершин (достаточно взять $$k$$ больше наибольшего из минимальных значений функций), прямая пересечёт каждую параболу в двух точках.
Следовательно, всего возможны четыре точки пересечения.