Задание 62
Задание 62
Прямая, параллельная основаниям трапеции $$ABCD$$, пересекает её боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$K$$ и $$N$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$KN$$, если $$AD = 40$$, $$BC = 16$$, $$CN = 12$$, $$ND = 18$$.
1) Проведём высоты: пусть $$CH \perp AD$$, $$BM \perp AD$$. Обозначим точки пересечения: $$CH \cap KN = S$$, $$BM \cap KN = L$$.
2) Так как $$KN \parallel AD$$, то углы $$\angle CNS = \angle CDH$$ (соответственные), а также $$\angle CSN = \angle CHD = 90^\circ$$. Следовательно, треугольники $$CNS$$ и $$CDH$$ подобны.
Длина стороны $$CD$$: $$CD = CN + ND = 12 + 18 = 30.$$ Из подобия: $$\frac{SN}{HD} = \frac{CN}{CD} = \frac{12}{30}.$$ Отсюда: $$SN = \frac{12}{30}\,HD.$$
3) Аналогично пункту 2: треугольники $$BKL$$ и $$BAM$$ подобны, поэтому $$KL = \frac{12}{30}\,AM.$$ Кроме того, выполняется равенство $$BC = LS = MH$$ (прямоугольники), а значит $$BC = LS = MH = 16.$$
4) Тогда $$AM + HD = AD - MH = 40 - 16 = 24.$$
5) Теперь длина отрезка $$KN$$: $$KN = KL + LS + SN = \frac{12}{30}(AM + HD) + 16 = \frac{12}{30}\cdot 24 + 16 = 9{,}6 + 16 = 25{,}6.$$
Ответ: $$25{,}6.$$