Задание 6089
Задание 6089
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=10$$, $$AH$$ – высота, $$BH=5$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.
1. Рассмотрим равнобедренный треугольник треугольник $$ACB$$: $$\angle CAB = \angle ABC$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$: $$\cos ABH = \frac{BH}{AB} = \frac{5}{10} = 0,5$$
3. Тогда $$\cos BAC = \cos ABH =0,5$$
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:
$$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$$
2. Обозначим $$CH = x$$. Тогда $$BC = BH + CH = 5 + x$$. Так как $$AC = BC$$, то $$AC = 5 + x$$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. По теореме Пифагора:
$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$
$$(5+x)^2 = 75 + x^2$$
4. Решим уравнение:
$$25 + 10x + x^2 = 75 + x^2$$
$$10x = 50$$
$$x = 5$$
5. Найдём стороны треугольника:
$$AC = BC = 5 + 5 = 10$$
6. Так как все стороны равны ($$AB=AC=BC=10$$), треугольник равносторонний, и угол $$BAC = 60^{\circ}$$:
$$\cos A = \cos 60^{\circ} = 0,5$$
Задание 6090
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=8$$, $$AH$$ – высота, $$BH=2$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.
1. Рассмотрим равнобедренный треугольник треугольник $$ACB$$: $$\angle CAB = \angle ABC$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$: $$\cos ABH = \frac{BH}{AB} = \frac{2}{8} = 0,25$$
3. Тогда $$\cos BAC = \cos ABH =0,5$$
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора найдём квадрат высоты $$AH$$:
$$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60$$
2. Обозначим $$CH = x$$. Тогда $$BC = BH + CH = 2 + x$$. Так как $$AC = BC$$, то $$AC = 2 + x$$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. По теореме Пифагора:
$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$
$$(2+x)^2 = 60 + x^2$$
4. Решим уравнение:
$$4 + 4x + x^2 = 60 + x^2$$
$$4x = 56$$
$$x = 14$$
5. Найдём стороны треугольника:
$$AC = BC = 2 + 14 = 16$$
6. По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$
$$16^2 = 8^2 + 16^2 - 2 \cdot 8 \cdot 16 \cdot \cos A$$
$$64 = 256 \cdot \cos A$$
$$\cos A = \frac{64}{256} = 0,25$$