Задание 6077
Задание 6077
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$2\sqrt{6}$$, $$\cos A=0,2$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
2. Найдём синус угла $$A$$ ($$0,2 = \frac{1}{5}$$):
$$\sin A = \sqrt{1 - 0,2^2} = \sqrt{1 - 0,04} = \sqrt{0,96}$$
$$\sqrt{0,96} = \sqrt{\frac{96}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{4\sqrt{6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$
3. Найдём гипотенузу $$AC$$:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = 2\sqrt{6} \cdot \frac{5}{2\sqrt{6}} = 5$$
Задание 6083
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$16$$, $$\cos A=0,6$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
2. Найдём синус угла $$A$$:
$$\sin A = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$$
3. По определению синуса:
$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$
4. Выразим $$AC$$:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{16}{0,8} = 20$$
Задание 6082
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$9,6$$, $$\cos A=\frac{7}{25}$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$ ($$\angle H = 90^{\circ}$$).
2. Найдём синус угла $$A$$, зная его косинус:
$$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} = 0,96$$
3. Используем определение синуса в треугольнике $$AHC$$:
$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$
4. Найдём гипотенузу $$AC$$:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{9,6}{0,96} = 10$$
Задание 6081
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$1$$, $$\cos A=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
2. Найдём синус угла $$A$$:
$$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0,2$$
3. Выразим гипотенузу $$AC$$ через катет $$CH$$ и синус:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{1}{0,2} = 5$$
Задание 6080
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$19,2$$, $$\cos A=0,28$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
2. Найдём синус угла $$A$$. Заметим, что $$0,28 = \frac{7}{25}$$.
$$\sin A = \sqrt{1 - (0,28)^2} = \sqrt{1 - 0,0784} = \sqrt{0,9216} = 0,96$$
3. Используем формулу синуса:
$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$
4. Найдём $$AC$$:
$$AC = \frac{19,2}{0,96} = 20$$
Задание 6079
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$13,5$$, $$\cos A=\frac{8}{17}$$. Найдите $$AC$$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
2. Найдём синус угла $$A$$:
$$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$$
3. Выразим гипотенузу $$AC$$:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{13,5}{\frac{15}{17}}$$
4. Выполним вычисление:
$$AC = 13,5 \cdot \frac{17}{15} = 0,9 \cdot 17 = 15,3$$
Задание 6078
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, высота $$CH$$ равна $$7,2$$, $$\cos A=\frac{4}{5}$$. Найдите $$AC$$.
1. Так как $$AC=BC$$, треугольник равнобедренный, но нам это свойство нужно лишь для понимания контекста. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$ (так как $$CH$$ — высота, $$\angle AHC = 90^{\circ}$$).
2. В прямоугольном треугольнике $$AHC$$ гипотенуза — это $$AC$$. Нам известен косинус угла $$A$$, но для нахождения гипотенузы через противолежащий катет $$CH$$ нам нужен синус угла $$A$$. Используем основное тригонометрическое тождество:
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0,6$$
3. Синус угла $$A$$ — это отношение противолежащего катета ($$CH$$) к гипотенузе ($$AC$$):
$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$
4. Выразим $$AC$$ и найдём её значение:
$$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{7,2}{0,6} = 12$$