Задание 605
Задание 605
Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} -x^2 - 4x - 4, & x < -1 \\ 1 - |x - 1|, & x \geq -1 \end{aligned}\right.$$ Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = ax + \frac{1}{2}$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Учтём, что $$y=-x^2-4x-4=-(x+2)^2$$ - парабола, смещенная по Ox влево на 2 и перевернутая.
$$y=1-|x-1|$$ - график $$y=|x|$$, смещенный по Ox вправо на 1, по Oy вверх на 1 и перевернутый.
Найдём, когда $$y=ax+\frac{1}{2}$$ имеет с $$y=-(x+2)^2$$ одну общую точку (1).
$$ax+\frac{1}{2}=-x^2-4x-4$$
$$x^2+x(4+a)+4,5=0$$
$$D=(4+a)^2-4\cdot4,5=0$$
$$4+a=\pm\sqrt{18}\Rightarrow a=-4\pm3\sqrt{2}$$. При этом в случае (1) имеем $$a>0\Rightarrow a=3\sqrt{2}-4$$.
Найдём, когда проходит $$y=ax+\frac{1}{2}$$ через (1;1):
$$1=a+\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$
Учтём, что при $$a\leq-1$$ имеем 1 точку (3).
Тогда $$a\in(-1;3\sqrt{2}-4)\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$