Задание 3934

Аналоги к этому заданию:

Задание 3934

Постройте график функции $$y = \begin{cases} -x^2 - 4x - 4,& x -1 \\ 1 - |x - 1|,& x \ge -1 \end{cases}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$m\in(-\infty;-1)\cup(0;1)$$

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Выполним преобразования:

$$y=-x^{2}-4x-4=-(x+2)^{2}$$

Тогда имеем следующую кусочную функцию:

$$y=\left\{\begin{matrix}-(x+2)^{2}=f(x),x<-1\\1-|x-1|=g(x),x\geq-1\end{matrix}\right.$$

В случае $$f(x)$$ - это парабола, ветви которой направлены вниз и вершина смешена на 2 единицы влево:

В случае $$g(x)$$ - график модуля, ветви направлены вниз, вершина смещена на 1 вверз и 1 вправо:

С учетом ограничений для каждой функции получаем:

Прямая $$y=m$$ параллельна оси Ox и проходит через ординату m, в таком случае ровно два пересечения с графиком кусочной функции она будет иметь при условии, что $$m\in(-\infty;-1)\cup(0;1)$$

Аналоги к этому заданию

Оригинал: 3934

Задание 3981

Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} |x|,\ -1 \le x \le 2 \\ -x^2 + 6x - 6,\ x > 2;\ x -1 \end{aligned}\right.$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$a\in(-\infty;-13)\cup[0]\cup(1;3)$$

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим обы графика функция на одной системе координат

Отметим части графика с учетом ограничений по х (выделены черным цветом)

Сотрем ненужные части (важно помнить, что закращенный концы будут у графика модуля, так как именно там нестрогие неравенства)

Прямая $$y=a$$, это прямая, параллельная оси Ox. Как видим по графику две точки пересечения получатся в случае если $$a\in(-\infty;-13)\cup[0]\cup(1;3)$$

Оригинал: 3934

Задание 2882

Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} |x - 2|,\ x \le 0 \\ -x^2 + 4x + 2,\ x > 0 \end{aligned}\right.$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: 2;6

Видео-решение

ⓘ

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Оригинал: 3934

Задание 605

Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} -x^2 - 4x - 4, & x < -1 \\ 1 - |x - 1|, & x \geq -1 \end{aligned}\right.$$ Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = ax + \frac{1}{2}$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$(-1;3\sqrt{2}-4),(\frac{1}{2};\infty)$$

Решение 1

ⓘ

Скрыть

Учтём, что $$y=-x^2-4x-4=-(x+2)^2$$ - парабола, смещенная по Ox влево на 2 и перевернутая.

$$y=1-|x-1|$$ - график $$y=|x|$$, смещенный по Ox вправо на 1, по Oy вверх на 1 и перевернутый.

Найдём, когда $$y=ax+\frac{1}{2}$$ имеет с $$y=-(x+2)^2$$ одну общую точку (1).

$$ax+\frac{1}{2}=-x^2-4x-4$$

$$x^2+x(4+a)+4,5=0$$

$$D=(4+a)^2-4\cdot4,5=0$$

$$4+a=\pm\sqrt{18}\Rightarrow a=-4\pm3\sqrt{2}$$. При этом в случае (1) имеем $$a>0\Rightarrow a=3\sqrt{2}-4$$.

Найдём, когда проходит $$y=ax+\frac{1}{2}$$ через (1;1):

$$1=a+\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$

Учтём, что при $$a\leq-1$$ имеем 1 точку (3).

Тогда $$a\in(-1;3\sqrt{2}-4)\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$