Задание 4650
Задание 4650
Решите неравенство: $$(4x - 6)^{2}\ge (6x - 4)^{2}$$
$$(4x-6)^{2}-(6x-4)^{2}\geq0\Leftrightarrow$$$$(4x-6-6x+4)(4x-6+6x-4)\geq0\Leftrightarrow$$$$(-2x-2)(10x-10)\geq0\Leftrightarrow$$$$-2(x+1)\cdot10(x-1)\geq0\Leftrightarrow$$$$(x+1)(x-1)\leq0$$
Начертим координатую прямую, отметим значения х при которых выражение $$(x+1)(x-1)$$ равно 0 и отметим знаки значений, которые принимает данное выражение на полученных промежутках:
Выберем те, в которых выражение неположительное : $$[-1; 1]$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Перенесём всё в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов: $$(3x - 7)^2 - (5x - 9)^2 \ge 0,$$ $$(3x - 7 - (5x - 9))(3x - 7 + (5x - 9)) \ge 0.$$ Имеем $$(-2x + 2)(8x - 16) \ge 0,$$ или $$-16(x - 1)(x - 2) \ge 0.$$
2) Поделим на $$-21$$ и меняем знак неравенства: $$(x - 1)(x - 2) \le 0.$$ Корни: $$x_1 = 1,\; x_2 = 2.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x - 1)(x - 2)$$ на полученных интервалах:
Произведение неположительно: $$x \in [1; 2].$$
Задание 1519
Решите неравенство: $$(5x + 2)^2 \ge (4 - 2x)^2$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Переносим всё в левую часть: $$(5x + 2)^2 - (4 - 2x)^2 \ge 0,$$ $$(5x + 2 - (4 - 2x))(5x + 2 + (4 - 2x)) \ge 0.$$ Получаем $$(7x - 2)(3x + 6) \ge 0,$$ или $$21(x + 2)(x - \frac{2}{7}) \ge 0.$$ Постоянный множитель $$21 > 0$$ на знак не влияет, поэтому решаем $$(x + 2)(x - \frac{2}{7}) \ge 0.$$
2) Найдём нули: $$x_1 = -2,\; x_2 = \dfrac{2}{7}.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x + 2)(x - \frac{2}{7})$$ на полученных интервалах.
Произведение неотрицательно: $$x \in (-\infty; -2] \cup \left[\dfrac{2}{7}; +\infty\right).$$
Задание 477
Решите неравенство: $$(2x - 5)^2 \le (5x - 2)^2$$
1) Перенесём всё в левую часть и раскроем разность квадратов: $$(2x - 5)^2 - (5x - 2)^2 \le 0,$$ $$(2x - 5 - (5x - 2))(2x - 5 + (5x - 2)) \le 0.$$ Получаем $$(-3x - 3)(7x - 7) \le 0,$$ или $$-21(x + 1)(x - 1) \le 0.$$
2) Поделим обе части неравенства на $$-21$$ (знак неравенства меняется на противоположный): $$(x + 1)(x - 1) \ge 0.$$ Корни: $$x_1 = -1,\; x_2 = 1.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x + 1)(x - 1)$$ на полученных интервалах.
Знак произведения неотрицателен: $$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty).$$
1) Перенесём всё в левую часть: $$(4x - 7)^2 - (7x - 4)^2 \ge 0,$$ $$(4x - 7 - (7x - 4))(4x - 7 + (7x - 4)) \ge 0.$$ Получаем $$(-3x - 3)(11x - 11) \ge 0,$$ или $$-33(x + 1)(x - 1) \ge 0.$$
2) Поделим на $$-33$$ и меняем знак неравенства: $$(x + 1)(x - 1) \le 0.$$ Корни: $$x_1 = -1,\; x_2 = 1.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x + 1)(x - 1)$$ на полученных интервалах:
Выражение неположительно: $$x \in [-1; 1].$$