Задание 4154
Задание 4154
Продолжение сторон $$KN$$ и $$LM$$ выпуклого четырехугольника $$KLMN$$ пересекаются в точке $$P$$, а продолжения сторон $$KL$$ и $$LM$$ – в точке $$Q$$. Отрезок $$PQ$$ перпендикулярен биссектрисе угла $$KQN$$. Найти длину стороны $$KL$$, если $$KQ=12$$, $$NQ=8$$, а площадь четырехугольника $$KLMN$$ равна площади треугольника $$LQM$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$
Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);
$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$
2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$
$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$
$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$
$$CK=QP(x-1)$$
4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$
$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$
$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$
$$AC=PQ(y-1)$$
$$AK=\frac{1}{2}PQ$$
$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-x$$
5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$
$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$
$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$xy=3$$
$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$
$$x(x+\frac{1}{2})=3$$
$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$
$$2x^{2}+x-6=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$
$$x_{2}<0$$
6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=12-8=4$$