Задание 3818

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1$$ ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1\neq 0\\ x+2\neq 0\\ x-1\neq 0\\ x+4\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq -1\\ x\neq -2\\ x\neq 1\\ x\neq -4\end{matrix}\right.$$ Раскроем скобки в знаменателях: $$\frac{6}{(x^{2}+3x+2}+\frac{8}{(x^{2}+3x-4}=1$$ Пусть $$x^{2}+3x+2=y$$ , тогда $$x^{2}+3x-4=x^{2}+3x+2-6=y-6$$ $$\frac{6}{y}+\frac{8}{y-6}=1\Leftrightarrow $$ $$6(y-6)+8y=y(y-6)\Leftrightarrow $$ $$6y-36+8y-y^{2}+6y=0|\cdot(-1)\Leftrightarrow $$ $$y^{2}-20y+36=0\Leftrightarrow $$ $$D=400-144=256=16^{2}$$ $$\left [ \begin{matrix}y_{1}=\frac{20+16}{2}=18\\ y_{2}=\frac{20-16}{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left [ \begin{matrix}x^{2}+3x+2=18\\ x^{2}+3x+2=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ \left [ \begin{matrix}x^{2}+3x-16=0(1) \\ x^{2}+3x=0(2) \end{matrix}\right.$$ $$1)x^{2}+3x-16=0$$ $$D=9+64=73$$ $$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{73}}{2}$$ $$2)x^{2}+3x=0\Leftrightarrow $$$$x(x+3)=0 \Leftrightarrow $$$$x=0 ; x=-3$$