Задание 3051
Задание 3051
Постройте график функции $$y = |x^2 - 6|x| + 4| - 2$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком наибольшее число общих точек.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Расскроем первый модуль:
1) При $$x\geq 0$$ : $$y=\left | x^{2}-6x+4 \right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение: $$x^{2}-6x+4=0$$: $$D=36-16=20\Rightarrow$$ $$x_{1}, x_{2}=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in [0;3-\sqrt{5}]\cup [3+\sqrt{5}; +\infty )$$: $$y=x^{2}-6x+4-2=x^{2}-6x+2(1)$$
- при $$x \in (3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$: $$y=-x^{2}+6x-6(2)$$
2) При $$x<0$$ имеем $$y=\left | x^{2}+6x+4\right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение : $$x^{2}+6x+4=0\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=-3\pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in (-\infty ; -3-\sqrt{5}]\cup [-3+\sqrt{5};0)$$ имеем: $$y=x^{2}+6x+4+2=x^{2}+6x-2(3)$$
- при $$x \in (-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}):$$ $$y=-x^{2}-6x-6(4)$$
Построим график функции
Видим, что наибольшее количество пересечений (8) будет при $$m \in (-2;2)$$
Задание 4054
Постройте график функции $$y = |x^2 - 2|x| - 3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Сначала необходимо раскрыть первый модуль:
1)Если подмодульное выражение больше или равно нулю: $$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=|x^{2}-2x-3|\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=3 ; x_{2}=-1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-1;3)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x\geq 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}-2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty) \\ y=-x^{2}+2x+3 & \text{ if } x\in (-1;3)\end{cases}$$
В точках -1 и 3 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить
2)Если подмодульное выражение меньше нуля: $$\left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=|x^{2}+2x-3|\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=-3 ; x_{2}=1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-3;1)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x< 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}+2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty) \\ y=-x^{2}-2x+3 & \text{ if } x\in (-3;1)\end{cases}$$
В точках -3 и 1 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить
Далее необходимо построить графики четырех представленных парабол и оставить только те их части, которые даются по промежуткам:
Как видим по графику наибольшее количество общих точек составит 6 штук ($$y\in (3;4)$$)
Задание 2954
Постройте график функции $$y = |x^2 - 4|x| + 3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Рассмотрим модули: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\left | x^{2}-4x+3 \right |(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=\left | x^{2}+4x+3 \right |(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Учтем, что парабола $$y=\left | ax^{2}+bx+c \right |$$ строится аналогично $$y=ax^{2}+bx+c$$ с учетом, что та часть параболы, которая была под Ox отображается симметрично относительно Ox. Найдем вершины параболы для (1) и (2)
(1) : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | 2^{2}-4*2+3 \right |=\left | -1 \right |=1$$
(2) : $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | (-2)^{2}+4(-2)+3 \right |=1$$
Построим график:
Наибольшее количество точек равно 8 при $$a \in (0 ;1)$$ (для прямой y=a)
Задание 2612
Постройте график функции $$y = |x^2 - 4|x| - 5|$$. Найдите все значения $$p$$, при которых прямая $$y = p$$ имеет с графиком функции ровно шесть общих точек.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Раскроем модули: $$y=\left\{\begin{matrix}|x^{2}-4x-5|,x\geq0(1)&\\|x^{2}+4x-5|,x<0(2)&\end{matrix}\right.$$
$$(1)$$, если взять параболу $$y=x^{2}-4x-5$$ и симметрично отобразить относительно $$Ox$$ ту часть, которя располагается под $$Ox$$, то получим $$y=|x^{2}-4x-5|$$. Аналогично для $$(2)$$
Найдем вершины парабол (до отображения)
$$(1)$$: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4\cdot2-5=-9$$
$$(2)$$: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=-9$$
Начертим графики и учтем симметрию и ограничения по $$x$$.
$$y=p$$ - прямая, параллельная $$Ox$$, проходящая через ординату $$p$$ $$\Rightarrow$$ 6 точек общих при $$p\in(5;9)$$