Задание 166
Задание 166
Постройте график функции $$y = x^2 + 2,5x - 2,5|x + 2| + 1$$. Определите, при каких значениях $$t$$ прямая $$y = t$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
Рассмотрим два случая для модуля:
Случай 1: $$x \geq -2$$, тогда $$|x + 2| = x + 2$$
$$y = x^2 + 2,5x - 2,5(x + 2) + 1 = x^2 + 2,5x - 2,5x - 5 + 1 = x^2 - 4$$
Случай 2: $$x < -2$$, тогда $$|x + 2| = -x - 2$$
$$y = x^2 + 2,5x - 2,5(-x - 2) + 1 = x^2 + 2,5x + 2,5x + 5 + 1 = x^2 + 5x + 6$$
$$y = (x + 2)(x + 3)$$
В точке $$x = -2$$:
Слева: $$y = 4 - 10 + 6 = 0$$
Справа: $$y = 4 - 4 = 0$$
Функция непрерывна
Вершины парабол:
Для $$x \geq -2$$: $$x_0 = 0$$, $$y_0 = -4$$
Для $$x < -2$$: $$x_0 = -2,5$$, $$y_0 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25$$
Прямая $$y = m$$ имеет 3 общие точки с графиком при:
$$m = 0$$ - точки: $$x = -3$$, $$x = -2$$, $$x = 2$$
$$m = -0,25$$ - точки: $$x = -2,5$$ (касание) и две другие