Задание 1549

Зонты

Два друга Дима и Юра задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Дима и Юра сумели измерить расстояние между концами соседних спиц $$a$$. Оно оказалось равно $$30$$ см. Высота купола зонта $$h$$ (рис. 2) оказалась равна $$29$$ см, а расстояние $$d$$ между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, - ровно $$116$$ см.

1. Длина зонта в сложенном виде равна $$28$$ см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна $$6,2$$ см.

2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Дима, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Димы, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $$63,7$$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

3. Юра предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус $$R$$ сферы купола, зная, что $$OC=R$$ (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

4. Юра нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле $$S=2\pi Rh$$, где $$R$$ - радиус сферы, a $$h$$ - высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Юры. Число $$\pi$$ округлите до $$3,14$$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

5. Рулон ткани имеет длину $$16$$ м и ширину $$150$$ см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для $$18$$ зонтов, таких же, как зонт, который был у Димы и Юры. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь $$1000$$ кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?