Задание 146
Задание 146
Постройте график функции $$y = x^2 + x - 5|x - 1| - 2$$. Определите, при каких значениях $$t$$ прямая $$y = t$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Рассмотрим два случая для модуля:
Случай 1: $$x \geq 1$$, тогда $$|x - 1| = x - 1$$
$$y = x^2 + x - 5(x - 1) - 2 = x^2 + x - 5x + 5 - 2 = x^2 - 4x + 3$$
Случай 2: $$x < 1$$, тогда $$|x - 1| = 1 - x$$
$$y = x^2 + x - 5(1 - x) - 2 = x^2 + x - 5 + 5x - 2 = x^2 + 6x - 7$$
В точке $$x = 1$$:
Слева: $$y = 1 + 6 - 7 = 0$$
Справа: $$y = 1 - 4 + 3 = 0$$
Функция непрерывна
Вершины парабол:
Для $$x \geq 1$$: $$x_0 = 2$$, $$y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$$
Для $$x < 1$$: $$x_0 = -3$$, $$y_0 = 9 - 18 - 7 = -16$$
Прямая $$y = m$$ имеет 3 общие точки с графиком при:
$$m = 0$$ - точки: $$x = -7$$, $$x = 1$$, $$x = 3$$
$$m = -1$$ - точки: $$x = 2$$ (касание) и две другие