Задание 143
Задание 143
Углы при одном из оснований трапеции равны $$58^\circ$$ и $$32^\circ$$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $$6$$ и $$14$$. Найдите основания трапеции.
Пусть $$ABCD$$ - трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$
Обозначим середины сторон: $$M$$ - середина $$AB$$, $$N$$ - середина $$CD$$, $$P$$ - середина $$BC$$ - меньшее основание, $$Q$$ - середина $$AD$$ - большее основание трапеции.
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон:
$$MN$$ - средняя линия: $$MN = \frac{AD + BC}{2}$$
(*) Если сумма углов при основании трапеции равна $$90^\circ$$, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности длин оснований. $$PQ = \frac{|AD - BC|}{2}$$
Решаем систему:
$$AD + BC = 28$$
$$AD - BC = 12$$
Сложим уравнения:
$$(AD + BC) + (AD - BC) = 28 + 12$$
$$2AD = 40$$
$$AD = 20$$
Вычтем уравнения:
$$(AD + BC) - (AD - BC) = 28 - 12$$
$$2BC = 16$$
$$BC = 8$$
$$AD = 20$$, $$BC = 8$$
Кому интересно, доказательство утверждения (*).
Пусть $$AB \cap DC = F$$. Угол $$\angle F = 90^\circ$$.
$$BP || AQ \Rightarrow \angle FBP = \angle FAQ$$ (соответственные).
$$FP$$ - медиана из прямого угла треугольник $$BFC \Rightarrow \angle BFP = \angle FBP$$, аналогично: $$\angle AFQ = \angle FAQ$$. Тогда $$\angle BFP = \angle AFQ \Rightarrow F, P, Q$$ лежат на одной прямой.
По свойству медианы, опущенной на гипотенузу: $$FP = \frac{BC}{2}$$, $$FQ = \frac{AD}{2}$$. При этом $$PQ = FQ - FP = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$$