Задание 1373

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Из второго уравнения: $$y = \dfrac{8}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое: $$x^2 + \left(\dfrac{8}{x}\right)^2 = 65.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 64 = 65x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^4 - 65x^2 + 64 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2$$: $$t^2 - 65t + 64 = 0.$$

2) Найдём корни через дискриминант: $$D = 65^2 - 4\cdot 1\cdot 64 = 4225 - 256 = 3969.$$ $$t_{1,2} = \dfrac{65 \pm \sqrt{3969}}{2} = \dfrac{65 \pm 63}{2}.$$ Тогда $$t_1 = \dfrac{65 + 63}{2} = 64,\qquad t_2 = \dfrac{65 - 63}{2} = 1.$$ То есть $$x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8,\qquad x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.$$

3) Найдём $$y = \dfrac{8}{x}.$$

Если $$x = 8,$$ то $$y = 1.$$
Если $$x = -8,$$ то $$y = -1.$$
Если $$x = 1,$$ то $$y = 8.$$
Если $$x = -1,$$ то $$y = -8.$$

Решения системы: $$(1;8),\ (-1;-8),\ (8;1),\ (-8;-1).$$