Задание 122
Задание 122
Середина $$M$$ стороны $$AD$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $$BC$$, если $$AD = 10$$, а углы $$C$$ и $$D$$ четырёхугольника равны соответственно $$110^\circ$$ и $$65^\circ$$.
1) $$MA = MB = MC = MD$$, следовательно, около $$ABCD$$ можно описать окружность с центром $$M$$. $$AD$$ - диаметр, $$AD = 10$$, $$MA = MB = MC = MD = 5$$
2) Угол $$C = 110^\circ$$, угол $$D = 65^\circ$$, тогда угол $$A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$, угол $$B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$
3) Треугольник $$AMB$$ - равнобедренный, тогда $$\angle ABM = \angle A = 70^\circ$$. Следовательно, $$\angle MBC = 115^\circ - 70^\circ = 45^\circ$$.
4) Треугольник $$BMC$$ - равнобедренный, тогда $$\angle MBC = \angle BCM = 45^\circ$$. Следовательно, $$\angle BMC = 180^\circ - 2\cdot 45^\circ = 90^\circ$$
5) По теореме косинусов: $$BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2\cdot BM \cdot MC \cdot \cos BMC$$; $$BC = \sqrt{25 +25 - 2\cdot 25 \cdot 0} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$