Задание 101

1) $$MA = MB = MC = MD$$, следовательно, около $$ABCD$$ можно описать окружность с центром $$M$$. Точка $$M$$ — середина $$AD$$, значит, $$AD$$ — диаметр этой окружности. Тогда $$AD = 12$$, откуда $$MA = MB = MC = MD = 6$$.

2) У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$. Поэтому: $$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ,$$ $$\angle B = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ.$$

3) Треугольник $$AMB$$ равнобедренный, так как $$MA = MB$$. Тогда $$\angle MAB = \angle ABM.$$ Но точка $$M$$ лежит на прямой $$AD$$, поэтому $$\angle MAB = \angle A = 78^\circ$$, значит, $$\angle ABM = 78^\circ.$$ Следовательно, $$\angle MBC = \angle B - \angle ABM = 108^\circ - 78^\circ = 30^\circ.$$

4) Треугольник $$BMC$$ тоже равнобедренный, так как $$MB = MC$$, значит $$\angle MBC = \angle BCM = 30^\circ.$$ Тогда $$\angle BMC = 180^\circ - 2\cdot 30^\circ = 120^\circ.$$

5) По теореме косинусов в треугольнике $$BMC$$: $$BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2\cdot BM \cdot MC \cdot \cos \angle BMC.$$ Подставляем $$BM = MC = 6$$ и $$\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$$: $$BC^2 = 6^2 + 6^2 - 2\cdot 6\cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 36 + 36 + 36 = 108,$$ $$BC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$BC = 6\sqrt{3}$$.