ОГЭ математика 2022. Разбор варианта Алекса Ларина № 297.

Найдите значение выражения $$\frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - 2\sqrt{y}$$, если $$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 6$$.

Решите уравнение: $$-4x + 8 = 10$$. В ответе запишите корень этого уравнения.

В группе из $$20$$ российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по‐английски, трое — только по‐французски, двое — по‐французски и по‐английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по‐французски?

Ниже представлены графики функции вида $$y = ax^2 + c$$. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов $$a$$ и $$c$$. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) $$a<0$$, $$c<0$$
2) $$a<0$$, $$c>0$$
3) $$a>0$$, $$c<0$$
4) $$a>0$$, $$c>0$$

Закон всемирного тяготения можно записать в виде $$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$$, где $$F$$ — сила притяжения между телами (в ньютонах), $$m_1$$ и $$m_2$$ — массы тел (в килограммах), $$r$$ — расстояние между центрами масс тел (в метрах), а $$\gamma$$ — гравитационная постоянная, равная $$6,67 \cdot 10^{-11}$$ Н·м²/кг². Пользуясь этой формулой, найдите массу тела $$m_1$$ в килограммах, если $$F = 4,002$$ Н, $$m_2 = 4 \cdot 10^9$$ кг, $$r = 2$$ м.

В угол величиной $$70^\circ$$ вписана окружность, которая касается его сторон в точках $$A$$ и $$B$$. На большей из дуг $$AB$$ этой окружности выбрали точку $$C$$. Найдите градусную меру угла $$ACB$$.

В треугольнике $$ABC$$ отмечены середины $$M$$ и $$N$$ сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Площадь треугольника $$CNM$$ равна $$12$$. Найдите площадь четырёхугольника $$ABMN$$.

На рисунке изображена трапеция $$ABCD$$. Используя рисунок, найдите $$\cos \angle HBA$$.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними.

1. Один из углов треугольника всегда не превышает $$60^{\circ}$$ градусов.
2. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
3. Все диаметры окружности равны между собой

Решите уравнение: $$(x - 1)(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)$$

Первый рабочий за час делает на $$5$$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $$200$$ деталей, на $$2$$ часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Постройте график функции $$y = -4 - \frac{x^4 + x^3}{x^2 + x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в $$30^{\circ}$$ и $$90^{\circ}$$.

Окружности с центрами в точках $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$m:n$$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$m:n$$.

В треугольнике $$ABC$$ известны длины сторон $$AB=60$$, $$AC=80$$, точка $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Прямая $$BD$$, перпендикулярная прямой $$AO$$, пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.