Задание 690
Задание 690
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$BDE.$$
Т.к. стороны правильного шестиугольника равны, то и $$CA=AB=BD=DE, \angle A=\angle D,$$ т.к. углы правильного шестиугольника тоже равны. Следовательно, данные треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).
Тогда $$BC=BE.$$ Углы $$\angle BCA=\angle CBA=\angle EBD=\angle BED$$ (по свойству равнобедренного треугольника). Следовательно внутренние углы $$\angle С=\angle B=\angle E.$$
Данные выкладки справедливы для любой пары треугольников, следовательно все стороны внутреннего шестиугольника равны и все внутренние углы равны. Это означает, что внутренний шестиугольник - правильный (по определению).