Задание 644
Задание 644
Даны два равносторонних треугольника ABD и BCE. Построена четверть окружности FGED с центром F и радиусом FD = FE = FG. Точки A, F, B, G и C лежат на одной прямой (см. рис.). Найдите длину отрезка DE, если известно, что площадь сектора круга FGED равна $$9\pi$$.
1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).
2) Если площадь четверти круга равна $$9\pi$$, то площадь всего круга равна $$4\cdot9\pi = 36\pi$$
Но площадь круга $$S = πR² = 36π$$, откуда $$R² = 36$$ и $$FD = R = 6$$
3) высота в равностороннем треугольнике $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
(если не помним, то из ∆DFB - прямоугольный. По теореме Пифагора:
$$FD² = DB² - FB², FB=\frac{DB}{2}$$
$$FD² = DB² - (\frac{DB}{2})² = \frac{3DB²}{4}$$ и $$FD = \frac{DB\sqrt{3}}{2}$$)
Таким образом $$DB = \frac{2FD}{\sqrt{3}} = 2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$
4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)
5) Рассмотрим ∆FBE: $$FE = 6; FB = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{3}$$ и $$∠FBE = 120˚$$
По теореме косинусов $$FE² = FB² + BE² - 2FB\cdot BE\cdot \cos(∠FBE)$$
$$36 = 12 + BE² - 2\cdot2\sqrt{3}\cdot(-0,5)\cdot BE$$
$$BE² + 2\sqrt{3}BE - 24 = 0$$
$$D = 12 + 4\cdot24 = 108 = 3\cdot36$$
$$ВЕ = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ (второй корень отрицательный и не подходит)
Получили BE = FB
6) Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6