ОГЭ математика 2021. Разбор варианта Алекса Ларина № 261.

Известно, что $$a \in (-\infty; -1)$$. Найдите наименьшее из чисел:
1) $$a^{-10}$$
2) $$a^{-7}$$
3) $$a^5$$
4) $$a^8$$

Найдите значение выражения $$\frac{ab}{a + b} \cdot \left(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}\right)$$ при $$a = 3 - 2\sqrt{2}$$, $$b = -2\sqrt{2}$$.

Решите уравнение: $$|x - 2| = 5 - x$$. Если в уравнении более одного корня, запишите их без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.

Какова вероятность того, что случайно выбранное целое число от $$15$$ до $$39$$ включительно делится на $$4$$?

Установите соответствие между графиками функций и функциями, соответствующими этим графикам. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, без пробелов и других разделительных символов.

ГРАФИКИ

Формулы:
1) $$y = -x^2 + 8x - 15$$
2) $$y = -3x^2 + 8x + 3$$
3) $$y = -2x^2 + 5x - 2$$

Решите неравенство $$(x^2 + 4)(x^2 - 9) \ge 0$$. В ответе укажите номер правильного ответа:
1) $$[ -3;\ 3 ]$$
2) $$( -\infty;\ -3 ] \cup [ 3;\ +\infty )$$
3) $$( -\infty;\ -3 ] \cup [ -2;\ 2 ] \cup [ 3;\ +\infty )$$
4) $$[ -3;\ -2 ] \cup [ 2;\ 3 ]$$

Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им $$3500$$ рублей, а за каждый следующий метр — на $$1600$$ рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной $$9$$ метров?

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны $$8$$ и $$17$$ соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC = 30$$ и $$BC = 20$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через точку $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.

Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна $$108$$. Точка $$E$$ — середина стороны $$CD$$. Найдите площадь трапеции $$ABED$$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответе запишите площадь, делённую на $$\pi$$.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.

1. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Решите уравнение: $$(x^2 - 7x + 8)(x^2 + 9x + 8) = -39x^2$$

Постройте график функции $$y = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 3x + 2}$$. Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Найдите боковую сторону $$AB$$ трапеции $$ABCD$$, если углы $$ABC$$ и $$BCD$$ равны соответственно $$45^{\circ}$$ и $$150^{\circ}$$, a $$CD=32$$.

В параллелограмме $$KLMN$$ точка $$E$$ – середина стороны $$KN$$. Известно, что $$EL=EM$$. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катет $$AC$$ равен $$8$$, а катет $$BC=15$$. Найдите диаметр окружности, которая проходит через концы гипотенузы и касается прямой $$BC$$.