Задание 4074
Задание 4074
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ точки $$D$$ и $$E$$ лежат соответственно на катетах $$BC$$ и $$AC$$ так, что $$CD=CE=1$$. Точка $$M$$ - точка пересечения отрезков $$AD$$ и $$BE$$. Площадь треугольника $$BMD$$ больше площади треугольника $$AME$$ на $$\frac{1}{2}$$. Известно, что $$AD=\sqrt{10}$$ . Найдите длину гипотенузы $$AB$$.
Ответ: 5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Построим чертеж:
1)CE = 1, пусть AE = x. Тогда из треугольника ACD по теореме Пифагора:
$$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}\Leftrightarrow $$$$(1+x)^{2}+1=10\Leftrightarrow $$$$(1+x)^{2}=9\Leftrightarrow $$$$1+x=3$$
То есть AC=3.
2)$$S_{BMD}-S_{AEM}=\frac{1}{2}$$ Если мы добавим и вычтем $$S_{EMDC}$$ то получим следующее:
$$S_{BMD}+S_{EMDC}-S_{AEM}-S_{EMDC}=\frac{1}{2}$$
$$S_{BEC}-S_{ACD}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть BD = y, тогда:
$$S_{BEC}=\frac{1}{2}*1*(1+y)=\frac{1+y}{2}$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}*1*3=\frac{3}{2}$$
C учетом пункта 2:
$$\frac{1+y}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$(1+y)-3=1\Leftrightarrow $$$$1+y=4$$
То есть CB=4
4)По теореме Пифагора из треугольника ABC:
$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=5$$