Задание 4053

1)$$\angle ACD =\angle BAC$$ (накрестлежащие), при этом $$\angle DAC =\angle BAC$$ (AC-биссектрисса), следовательно $$\angle DAC = \angle ACB$$ и треугольник DAC - равнобедренный

2) Так как трапеция равнобедренная, то, если мы опустим две высоты AE и BF, то отрезки DE и FC, AB и EF равны. Пусть DE=FC=x. Тогда ВС = 2x+3=AD.

3) По т.Пифагора из треугольника ADE: $$AE=\sqrt{(2x+3)^{2}-x^{2}}$$$$=\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$

4)Тогда площадь трапеции мы можем расписаться как: $$96=\frac{3+2x+3}{2}*\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$

$$96=(x+3)*\sqrt{(x+3)(3x+3)}\Leftrightarrow $$$$96^{2}=(x+3)^2*(x+3)*3*(x+1)\Leftrightarrow $$$$3072=(x+3)^3(x+1)$$

Пусть $$x+3=y$$, тогда $$x+1=y-2$$

$$y^{3}(y-2)=3072\Leftrightarrow $$$$y^{4}-2y^{3}-3072=0$$

Выбираем целочисленные делители свободного члена (3072) и путем подстановки ищем корень уравнения. Получаем, что один из корней y=8. Если поделить столбиком наше уравнение на y-8, то получим $$y^{3}+6y^{2}+48y-384$$, данное выражение не обнуляется ни при одном из положительных у, а отрицательное y нас не устраивает, так как длина не может быть отрицательной. Тогда

$$y=8\Leftrightarrow $$$$x+3=8\Leftrightarrow $$$$x=5$$

$$P=3*(2x+3)+3\Leftrightarrow $$$$P=3*13+3=42$$