Задание 4052

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Ответ:

YouTube Решение 1

ⓘ

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC₁=m_c;BB₁=m_b;AA₁=m_a

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA₁=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2m_a<b+c или m_a<0,5(b+c)(1)

2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем m_с<0,5(a+b)(2) и m_b<0,5(a+c)(3) соответственно.

3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : m_a+m_b+m_c<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или m_a+m_b+m_c<a+b+c

ч.т.д.