Задание 4028
Задание 4028
В равностороннем треугольнике $$ABC$$ из вершин $$A$$ и $$B$$ проведена окружность с центром в точке $$O$$, проходящая через точку пересечения медиан треугольника $$ABC$$ и касающаяся его стороны $$BC$$ в её середине $$D$$. Из точки $$A$$ проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке $$E$$ так, что градусная мера угла $$BAE$$ меньше $$30^{\circ}$$. Найдите отношение площадей треугольника $$ABE$$ и четырехугольника $$BEOD$$
Ответ: $$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть сторона треугольника равна а: тогда по т.Пифагора из треугольника ADC: $$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$
1) По свойству медиан треугольника: $$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{3};$$$$MD=\frac{1}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{6}$$
2)$$OM=OD=OE=\frac{1}{2}MD=\frac{\sqrt{3}}{12}$$
3)По свойству касательной $$OE \perp AQ$$, тогда $$\bigtriangleup AOE \sim \bigtriangleup ADQ$$ ; $$AO=AM+MO=\frac{5\sqrt{a}}{12}$$
Можем записать отношение соответственных сторон:$$\frac{AD}{AE}=\frac{AQ}{AO}=\frac{QD}{EO}(1)$$
По свойству касательной и секущей: $$AE^{2}=AM*AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
4) Используя равенство под номером (1) получаем: $$AQ=\frac{AD*AO}{AE}=\frac{5\sqrt{2}a}{8}$$
$$QD=\frac{AD*EO}{AE}=\frac{\sqrt{2}a}{8}$$
5) Треугольники ABE и ABQ имеют общий угол и стороны являются продолжением друг друга, тогда: $$\frac{S_{ABE}}{S_{ABQ}}=\frac{AB*AE}{AB*AQ}=\frac{4}{5}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}$$
$$S_{ABQ}=\frac{BQ}{BD}S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{2}a}{8}}{\frac{1}{2}a}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}$$
$$S_{ABE}=\frac{4}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}$$
6)$$S_{BDOE}=S_{BEQ}+S_{QDOE}=$$$$\frac{1}{5}S_{ABQ}+2S_{QDO}=$$$$\frac{1}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}+2*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}a}{12}*\frac{\sqrt{2}a}{8}=$$$$\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}$$
7)$$\frac{S_{ABE}}{S_{BEOD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}}{\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}}=$$$$\frac{6(4-\sqrt{2})}{6-\sqrt{2}}=$$$$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$