Задание 3978
Задание 3978
На продолжении стороны $$BC$$ треугольника $$ABC$$ за точку $$B$$ расположена точка $$E$$ так, что биссектрисы углов $$AEC$$ и $$ABC$$ пересекаются в точке $$K$$, лежащей на стороне $$AC$$. Длина отрезка $$BE = 1$$, длина отрезка $$BC$$ равна $$2$$, градусная мера угла $$EKB$$ равна $$30^{\circ}$$. Найдите длину стороны $$AB$$.
Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{7}}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1)Пусть $$EA=a$$. По свойству биссектрис из треугольника EAC: $$\frac{EC}{EA}=\frac{CK}{KA}$$ и треугольника ABC: $$\frac{BC}{BA}=\frac{CK}{KA}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$$; $$\Rightarrow$$ $$AB=\frac{EA\cdot BC}{EC}=\frac{a\cdot2}{3}=\frac{2}{3}a$$
2) $$\angle KBA=\alpha=\angle CBK\Rightarrow$$$$\angle KBE=180^{\circ}-\alpha\Rightarrow$$$$\angle BEK=180-(30+180-\alpha)=\alpha-30=\angle KEA\Rightarrow$$$$\angle BEA=2\alpha-60^{\circ}$$
$$\angle CBE=180-2\alpha\Rightarrow$$$$\angle BCE=180-(2\alpha-60+180-2\alpha)=60^{\circ}$$
3)По теореме косинусов из треугольника BCE: $$\sqrt{1}=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^{2}+a^{2}-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot a\cdot\cos60}\Rightarrow$$$$1=\frac{4}{9}a^{2}+a^{2}-\frac{4}{3}a^{2}\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow$$$$1=\frac{13}{5}a^{2}-\frac{6}{9}a^{2}\Rightarrow$$$$\frac{7}{9}a^{2}=1\Rightarrow$$$$a^{2}=\frac{9}{7}$$$$a=\frac{3}{\sqrt{7}}\Rightarrow$$$$AB=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$$