Задание 3955
Задание 3955
В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что если в данный четырехугольник можно вписать окружность, то две другие стороны четырёхугольника равны между собой.
Ответ:
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) Так как $$AC \perp BD$$ и $$BC \parallel AD$$ получаем, что $$\angle CBE = \angle EDA ; \angle BCE = \angle EAD$$. Тогда $$\bigtriangleup BEC \sim \bigtriangleup AED$$ и мы можем записать отношение соответственных сторон: $$\frac{BE}{ED}=\frac{EC}{EA}\Leftrightarrow$$$$BE*EA=CE*ED(1)$$
2) Так как чертырехугольник можно вписать в окружность, то BD и AC - хорды и по свойству хорд: $$BE*ED=CE*EA(2)$$
3)Поделим (1) на (2) и получим: $$\frac{EA}{ED}=\frac{ED}{EA}$$. В таком случае $$EA=ED$$, но из подобия $$BE=EC$$ и тогда треугольники AEB и CED равны по двум катетам, откуда следует, что $$AB=CD$$