Задание 3931

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$S_{ABC}=S_{CED}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\cdot AE=CE\cdot ED$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{CE}{EA}$$; $$\angle BEC=\angle AED$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BEC\sim\bigtriangleup AED$$ $$\Rightarrow$$ дана трапеция.

2) Пусть НМ - высота $$\Rightarrow$$ $$S_{BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot HE$$; $$S_{AED}=\frac{1}{2}EM\cdot AD$$. Пусть $$EM=x$$ $$\Rightarrow$$ $$HE=kx$$, где $$k$$ - коэфф. подобия $$\Rightarrow$$ $$BC=k\cdot3$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot3k\cdot kx+\frac{1}{2}\cdot3x=\frac{1}{2}\cdot3x(k^{2}+1)\leq2$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k^{2}+1)\leq\frac{4}{3}$$ $$(1)$$

$$S_{ABCD}=\frac{3k+3}{2}\cdot(kx+x)<4$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k+1)^{2}\leq\frac{8}{3}$$ $$(2)$$

Поделим первое на второе: $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2k^{2}+2\leq k^{2}+2k+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k^{2}-2k+1\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(k-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=1\cdot3=3$$